Wir wollen zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe auf einer
K
{\displaystyle {}K}
-Algebra von endlichem Typ
ein
direkter Summand
ist, wobei wir
Fakt
auf geeignete
endlichdimensionale
G
{\displaystyle {}G}
-Untervektorräume
V
{\displaystyle {}V}
anwenden wollen. Dazu müssen wir zunächst sicherstellen, dass jedes
f
∈
R
{\displaystyle {}f\in R}
in einem endlichdimensionalen
G
{\displaystyle {}G}
-Untervektorraum
V
⊆
R
{\displaystyle {}V\subseteq R}
liegt. Es sei
G
=
Spek
(
H
)
{\displaystyle {}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}}
ein
affines Gruppenschema
zu einer endlich erzeugten
K
{\displaystyle {}K}
-Hopf-Algebra
H
{\displaystyle {}H}
. Die Operation von
G
{\displaystyle {}G}
auf
X
=
Spek
(
R
)
{\displaystyle {}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}
, dem Spektrum einer
endlich erzeugten
K
{\displaystyle {}K}
-Algebra ,
ist äquivalent zu einem Ringhomomorphismus
(der
Kooperation )
N
:
R
⟶
H
⊗
K
R
{\displaystyle N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R}
(mit bestimmten Eigenschaften).
Für ein
f
∈
R
{\displaystyle {}f\in R}
kann man dabei
N
(
f
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
⊗
f
i
{\displaystyle {}N(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes f_{i}\,}
mit
a
i
∈
H
{\displaystyle {}a_{i}\in H}
und
f
i
∈
R
{\displaystyle {}f_{i}\in R}
schreiben. Die Operation des
K
{\displaystyle {}K}
-Spektrums
von
H
{\displaystyle {}H}
auf
R
{\displaystyle {}R}
ist folgendermaßen gegeben: Ein Gruppenelement
g
∈
K
−
Spek
(
R
)
{\displaystyle {}g\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}}
, also ein
K
{\displaystyle {}K}
-Algebrahomomorphismus
g
:
H
⟶
K
{\displaystyle g\colon H\longrightarrow K}
schickt eine Funktion
f
{\displaystyle {}f}
auf
f
g
=
∑
i
=
1
n
g
(
a
i
)
⊗
f
i
.
{\displaystyle {}fg=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})\otimes f_{i}\,.}
Es wird also die Hintereinanderschaltung
R
⟶
N
H
⊗
K
R
⟶
g
⊗
Id
R
K
⊗
K
R
⟶
≅
R
{\displaystyle R{\stackrel {N}{\longrightarrow }}H\otimes _{K}R{\stackrel {g\otimes \operatorname {Id} _{R}}{\longrightarrow }}K\otimes _{K}R{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}R}
betrachtet.
Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den
K
{\displaystyle {}K}
-Algebrahomomorphismus
N
:
R
⟶
H
⊗
K
R
,
{\displaystyle N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R,}
wobei
H
{\displaystyle {}H}
die
Hopf-Algebra
zu
G
{\displaystyle {}G}
sei. Es sei
N
(
f
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
⊗
f
i
{\displaystyle {}N(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes f_{i}\,}
mit
a
i
∈
H
{\displaystyle {}a_{i}\in H}
und
f
i
∈
R
{\displaystyle {}f_{i}\in R}
. Für jedes
g
∈
G
(
K
)
{\displaystyle {}g\in G(K)}
ist
f
g
=
∑
i
=
1
n
g
(
a
i
)
⊗
f
i
=
∑
i
=
1
n
g
(
a
i
)
f
i
,
{\displaystyle {}fg=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})\otimes f_{i}=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})f_{i}\,,}
d.h. diese liegen alle in dem von
f
1
,
…
,
f
n
{\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}
erzeugten
K
{\displaystyle {}K}
-Untervektorraum
von
R
{\displaystyle {}R}
. Der von all diesen
f
g
{\displaystyle {}fg}
,
g
∈
G
(
K
)
{\displaystyle {}g\in G(K)}
,
erzeugte Untervektorraum ist also
G
(
K
)
{\displaystyle {}G(K)}
-invariant
und endlichdimensional.
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
V
⊆
R
{\displaystyle {}V\subseteq R}
ein
endlichdimensionaler
G
{\displaystyle {}G}
-Untervektorraum .
Nach Fakt (2)
ist
V
=
V
G
⊕
W
{\displaystyle {}V=V^{G}\oplus W}
mit einem
G
{\displaystyle {}G}
-Komplement ,
das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches
(
W
∗
)
G
=
0
{\displaystyle {}{\left({W}^{*}\right)}^{G}=0}
gilt.
Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei
Φ
:
R
⟶
R
G
{\displaystyle \Phi \colon R\longrightarrow R^{G}}
eine
Reynolds-Abbildung .
Nach Fakt
gibt es zu jedem
f
∈
R
{\displaystyle {}f\in R}
einen endlichdimensionalen
G
{\displaystyle {}G}
-Untervektorraum
V
⊆
R
{\displaystyle {}V\subseteq R}
mit
f
∈
V
{\displaystyle {}f\in V}
. Wegen der
G
{\displaystyle {}G}
-Invarianz
von
Φ
{\displaystyle {}\Phi }
ist
Φ
(
V
)
⊆
V
{\displaystyle {}\Phi (V)\subseteq V}
und die Einschränkung
Φ
|
V
G
{\displaystyle {}\Phi {|}_{V^{G}}}
ist die Identität auf
V
G
{\displaystyle {}V^{G}}
. Ferner ist
Φ
(
W
)
=
0
{\displaystyle {}\Phi (W)=0}
. Bei
u
∈
Φ
(
W
)
{\displaystyle {}u\in \Phi (W)}
,
u
≠
0
{\displaystyle {}u\neq 0}
,
könnte man nämlich mit Hilfe einer
K
{\displaystyle {}K}
-linearen Abbildung
h
:
R
G
⟶
K
{\displaystyle h\colon R^{G}\longrightarrow K}
mit
h
(
u
)
≠
0
{\displaystyle {}h(u)\neq 0}
eine Linearform
≠
0
{\displaystyle {}\neq 0}
auf
R
{\displaystyle {}R}
, nämlich
h
∘
Φ
{\displaystyle {}h\circ \Phi }
, angeben, die zu
(
W
∗
)
G
{\displaystyle {}{\left({W}^{*}\right)}^{G}}
gehört. Dadurch ist
Φ
{\displaystyle {}\Phi }
auf
V
{\displaystyle {}V}
eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu
f
∈
R
{\displaystyle {}f\in R}
gemäß Fakt
einen endlichdimensionalen
G
{\displaystyle {}G}
-Untervektorraum
V
⊆
R
{\displaystyle {}V\subseteq R}
und setzen
Φ
(
f
)
:=
π
V
(
f
)
,
{\displaystyle {}\Phi (f):=\pi _{V}(f)\,,}
wobei
π
V
:
V
⟶
V
G
{\displaystyle \pi _{V}\colon V\longrightarrow V^{G}}
die Projektion von
V
{\displaystyle {}V}
auf
V
G
{\displaystyle {}V^{G}}
längs des
G
{\displaystyle {}G}
-Komplementes
W
{\displaystyle {}W}
von
V
G
{\displaystyle {}V^{G}}
in
V
{\displaystyle {}V}
bezeichnet. Dabei ist
Φ
(
f
)
{\displaystyle {}\Phi (f)}
unabhängig von der Wahl von
V
{\displaystyle {}V}
. Zu einem anderen
V
′
{\displaystyle {}V'}
ist nämlich
π
V
′
|
V
∩
V
′
=
π
V
|
V
∩
V
′
{\displaystyle {}\pi _{V'}{|}_{V\cap V'}=\pi _{V}{|}_{V\cap V'}}
.
Um dies zu zeigen kann man
V
⊆
V
′
{\displaystyle {}V\subseteq V'}
annehmen. Aus
V
′
=
(
V
′
)
G
⊕
W
′
{\displaystyle {}V'=(V')^{G}\oplus W'}
ergibt sich durch Schneiden mit
V
{\displaystyle {}V}
sofort eine Zerlegung von
V
{\displaystyle {}V}
, die wegen der Eindeutigkeit mit
V
G
⊕
W
{\displaystyle {}V^{G}\oplus W}
übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte
K
{\displaystyle {}K}
-lineare Abbildung
Φ
:
R
⟶
R
G
.
{\displaystyle \Phi \colon R\longrightarrow R^{G}.}
Zu
f
∈
R
G
{\displaystyle {}f\in R^{G}}
ist natürlich
f
∈
V
G
{\displaystyle {}f\in V^{G}}
(für einen gewählten Unterraum)
und somit ist die Einschränkung von
Φ
{\displaystyle {}\Phi }
auf
R
G
{\displaystyle {}R^{G}}
die Identität. Für ein Gruppenelement
g
∈
G
{\displaystyle {}g\in G}
und
f
∈
R
{\displaystyle {}f\in R}
kann man
Φ
(
f
g
)
{\displaystyle {}\Phi (fg)}
mit dem gleichen Untervektorraum
V
{\displaystyle {}V}
berechnen. Es sei
f
=
(
u
,
w
)
{\displaystyle {}f=(u,w)}
die Zerlegung von
f
{\displaystyle {}f}
in der direkten Zerlegung
V
=
V
G
⊕
W
.
{\displaystyle {}V=V^{G}\oplus W\,.}
Die Zerlegung von
f
g
{\displaystyle {}fg}
hat dann die Form
(
u
,
w
′
)
{\displaystyle {}(u,w')}
, da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist
Φ
(
f
g
)
=
π
V
(
f
g
)
=
u
=
π
V
(
f
)
=
Φ
(
f
)
,
{\displaystyle {}\Phi (fg)=\pi _{V}(fg)=u=\pi _{V}(f)=\Phi (f)\,,}
und
Φ
{\displaystyle {}\Phi }
ist in der Tat eine Reynolds-Abbildung.
◻
{\displaystyle \Box }
Dies folgt aus
Fakt
und aus
Fakt
(die Homogenitätsvoraussetzung ist erfüllt).
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
f
1
,
…
,
f
n
{\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}
ein
K
{\displaystyle {}K}
-Algebraerzeugendensystem
von
R
{\displaystyle {}R}
. Nach
Fakt
gibt es einen endlichdimensionalen
K
{\displaystyle {}K}
-Untervektorraum
V
⊆
R
{\displaystyle {}V\subseteq R}
, der
G
{\displaystyle {}G}
-invariant
ist. Es sei
K
[
V
]
{\displaystyle {}K[V]}
der zum Vektorraum
V
{\displaystyle {}V}
gehörende Polynomring, auf dem
G
{\displaystyle {}G}
linear operiert. Es ist
p
:
K
[
V
]
⟶
R
{\displaystyle p\colon K[V]\longrightarrow R}
ein surjektiver
K
{\displaystyle {}K}
-Algebrahomomorphismus ,
der mit den Operationen von
G
{\displaystyle {}G}
verträglich
ist. Zu einem invarianten Element
f
∈
R
G
{\displaystyle {}f\in R^{G}}
gibt es ein
h
∈
K
[
V
]
{\displaystyle {}h\in K[V]}
, das auf
f
{\displaystyle {}f}
abbildet. Wiederum nach
Fakt
gibt es einen endlichdimensionalen
G
{\displaystyle {}G}
-invarianten Untervektorraum
U
⊆
K
[
V
]
{\displaystyle {}U\subseteq K[V]}
mit
h
∈
U
{\displaystyle {}h\in U}
. Dann ist
f
∈
p
(
U
)
{\displaystyle {}f\in p(U)}
ebenfalls
G
{\displaystyle {}G}
-invariant und nach
Aufgabe ,
angewandt auf
p
|
U
:
U
⟶
p
(
U
)
{\displaystyle p{|}_{U}\colon U\longrightarrow p(U)}
gibt es auch ein
G
{\displaystyle {}G}
-invariantes
h
′
∈
K
[
V
]
{\displaystyle {}h'\in K[V]}
, das auf
f
{\displaystyle {}f}
abbildet. Es ist also
K
[
V
]
G
⟶
R
G
{\displaystyle K[V]^{G}\longrightarrow R^{G}}
ebenfalls surjektiv. Nach
Fakt
ist
K
[
V
]
G
{\displaystyle {}K[V]^{G}}
und somit
R
G
{\displaystyle {}R^{G}}
endlich erzeugt.
◻
{\displaystyle \Box }