Linear reduktive Gruppe/Direkter Summand/Endlich erzeugt/Textabschnitt

Wir wollen zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe auf einer ${}K$-Algebra von endlichem Typ ein direkter Summand ist, wobei wir Fakt auf geeignete endlichdimensionale ${}G$-Untervektorräume ${}V$ anwenden wollen. Dazu müssen wir zunächst sicherstellen, dass jedes  ${}f\in R$  in einem endlichdimensionalen ${}G$-Untervektorraum  ${}V\subseteq R$  liegt. Es sei  ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$  ein affines Gruppenschema zu einer endlich erzeugten ${}K$-Hopf-Algebra ${}H$. Die Operation von ${}G$ auf  ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$,  dem Spektrum einer endlich erzeugten ${}K$-Algebra, ist äquivalent zu einem Ringhomomorphismus (der Kooperation)

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$

(mit bestimmten Eigenschaften). Für ein  ${}f\in R$  kann man dabei

${}N(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes f_{i}\,$

mit  ${}a_{i}\in H$  und  ${}f_{i}\in R$  schreiben. Die Operation des ${}K$-Spektrums von ${}H$ auf ${}R$ ist folgendermaßen gegeben: Ein Gruppenelement  ${}g\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$,  also ein ${}K$-Algebrahomomorphismus

$g\colon H\longrightarrow K,$

schickt eine Funktion ${}f$ auf

${}fg=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})\otimes f_{i}\,.$

Es wird also die Hintereinanderschaltung

$R{\stackrel {N}{\longrightarrow }}H\otimes _{K}R{\stackrel {g\otimes \operatorname {Id} _{R}}{\longrightarrow }}K\otimes _{K}R{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}R$

betrachtet.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}G$ ein affines Gruppenschema über ${}K$ und

$\nu \colon G\times X\longrightarrow X$

eine ${}K$-algebraische Operation von ${}G$ auf einem affinen Schema  ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, 

wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra sei.

Dann liegt jedes  ${}f\in R$  in einem endlichdimensionalen ${}G(K)$-invarianten ${}K$-Untervektorraum von ${}R$.

Beweis

Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den ${}K$-Algebrahomomorphismus

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R,$

wobei ${}H$ die Hopf-Algebra zu ${}G$ sei. Es sei

${}N(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes f_{i}\,$

mit  ${}a_{i}\in H$  und  ${}f_{i}\in R$.  Für jedes  ${}g\in G(K)$  ist

${}fg=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})\otimes f_{i}=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})f_{i}\,,$

d.h. diese liegen alle in dem von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugten ${}K$-Untervektorraum von ${}R$. Der von all diesen ${}fg$, ${}g\in G(K)$, erzeugte Untervektorraum ist also ${}G(K)$-invariant und endlichdimensional.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}G$ eine linear reduktive Gruppe über ${}K$, die auf einer endlich erzeugten ${}K$-Algebra ${}R$ algebraisch operiere.

Dann ist  ${}R^{G}\subseteq R$  ein direkter Summand.

Beweis

Es sei  ${}V\subseteq R$  ein endlichdimensionaler ${}G$-Untervektorraum. Nach Fakt  (2) ist  ${}V=V^{G}\oplus W$  mit einem ${}G$-Komplement, das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches  ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}=0$  gilt.
  Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer ${}G$-invarianten Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei

$\Phi \colon R\longrightarrow R^{G}$

eine ${}G$-invariante Reynolds-Abbildung. Nach Fakt gibt es zu jedem  ${}f\in R$  einen endlichdimensionalen ${}G$-Untervektorraum  ${}V\subseteq R$  mit  ${}f\in V$,  es sei ${}W$ das ${}G$-invariante direkte Komplement von ${}V^{G}$ in ${}V$. Hierbei ist  ${}\Phi (W)=0$.  Bei ${}u\in \Phi (W)$, ${}u\neq 0$, könnte man nämlich mit Hilfe einer ${}K$-linearen Abbildung

$h\colon R^{G}\longrightarrow K$

mit  ${}h(u)\neq 0$  eine Linearform ${}\neq 0$ auf ${}R$, nämlich ${}h\circ \Phi$, angeben, die zu ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}$ gehört, was ein Widerspruch zu Fakt  (2) wäre. Die Einschränkung ${}\Phi {|}_{V^{G}}$ ist die Identität auf ${}V^{G}$ und damit ist  ${}\Phi (V)\subseteq V^{G}\subseteq V$.  Durch diese Eigenschaften ist ${}\Phi$ auf ${}V$ eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu  ${}f\in R$  gemäß Fakt einen endlichdimensionalen ${}G$-Untervektorraum  ${}V\subseteq R$  mit  ${}f\in V$  und setzen

${}\Phi (f):=\pi _{V}(f)\,,$

wobei

$\pi _{V}\colon V\longrightarrow V^{G}\subseteq R^{G}$

die Projektion von ${}V$ auf ${}V^{G}$ längs des ${}G$-Komplementes ${}W$von ${}V^{G}$ in ${}V$ bezeichnet. Dabei ist ${}\Phi (f)$ unabhängig von der Wahl von ${}V$. Zu einem anderen ${}V'$ ist nämlich  ${}\pi _{V'}{|}_{V\cap V'}=\pi _{V}{|}_{V\cap V'}$.  Um dies zu zeigen kann man  ${}V\subseteq V'$  annehmen. Aus  ${}V'=(V')^{G}\oplus W'$  ergibt sich durch Schneiden mit ${}V$ sofort eine Zerlegung von ${}V$, die wegen der Eindeutigkeit mit ${}V^{G}\oplus W$ übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte ${}K$-lineare Abbildung

$\Phi \colon R\longrightarrow R^{G}.$

Zu  ${}f\in R^{G}$  ist natürlich  ${}f\in V^{G}$  (für einen gewählten Untervektorraum) und somit ist die Einschränkung von ${}\Phi$ auf ${}R^{G}$ die Identität. Für ein Gruppenelement  ${}g\in G$  und  ${}f\in R$  kann man ${}\Phi (fg)$ mit dem gleichen Untervektorraum ${}V$ berechnen. Es sei  ${}f=(u,w)$  die Zerlegung von ${}f$ in der direkten Zerlegung

${}V=V^{G}\oplus W\,.$

Die Zerlegung von ${}fg$ hat dann die Form ${}(u,w')$, da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist

${}\Phi (fg)=\pi _{V}(fg)=u=\pi _{V}(f)=\Phi (f)\,,$

und ${}\Phi$ ist in der Tat eine ${}G$-invariante Reynolds-Abbildung.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}G$ eine linear reduktive Gruppe über ${}K$, die auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ ${}K$-rational operiere.

Dann ist der Invariantenring ${}K[V]^{G}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt (die Homogenitätsvoraussetzung ist erfüllt).

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}G$ eine linear reduktive Gruppe über ${}K$, die auf einer endlich erzeugten ${}K$-Algebra ${}R$ ${}K$-algebraisch operiere.

Dann ist der Invariantenring ${}R^{G}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra.

Beweis

Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ ein ${}K$-Algebraerzeugendensystem von ${}R$. Nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen ${}K$-Untervektorraum  ${}V\subseteq R$,  der ${}G$-invariant ist und die ${}f_{i}$ enthält. Es sei ${}K[V]$ der zum Vektorraum ${}V$ gehörende Polynomring, auf dem ${}G$ linear operiert. Es ist

$p\colon K[V]\longrightarrow R$

ein surjektiver ${}K$-Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von ${}G$ verträglich ist. Zu einem invarianten Element  ${}f\in R^{G}$  gibt es ein  ${}h\in K[V]$,  das auf ${}f$ abbildet. Wiederum nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen ${}G$-invarianten Untervektorraum  ${}U\subseteq K[V]$  mit  ${}h\in U$.  Dann ist  ${}f\in p(U)$  ebenfalls ${}G$-invariant und nach Aufgabe, angewandt auf

$p{|}_{U}\colon U\longrightarrow p(U),$

gibt es auch ein ${}G$-invariantes  ${}h'\in K[V]$,  das auf ${}f$ abbildet. Es ist also

$K[V]^{G}\longrightarrow R^{G}$

ebenfalls surjektiv. Nach Fakt ist ${}K[V]^{G}$ und somit ${}R^{G}$ endlich erzeugt.

$\Box$