Wir möchten das Konzept den Levi-Civita-Zusammenhangs von einer offenen Menge
U
⊆
R
n
{\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
mit einer riemannschen Struktur auf eine beliebige riemannsche Mannigfaltigkeit ausdehnen. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, zu zeigen, dass der direkte Ansatz für offene Kartengebiete auf den Überlappungen verträglich ist. Dazu führt man die folgenden Begriffe ein.
Es sei
M
{\displaystyle {}M}
eine
riemannsche Mannigfaltigkeit
und sei ein
linearer Zusammenhang
auf dem
Tangentialbündel
T
M
{\displaystyle {}TM}
gegeben. Der Zusammenhang heißt
metrisch ,
wenn
D
V
⟨
W
,
Z
⟩
=
⟨
∇
V
W
,
Z
⟩
+
⟨
W
,
∇
V
Z
⟩
.
{\displaystyle {}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.}
für
stetig differenzierbare
Vektorfelder
V
,
W
,
Z
{\displaystyle {}V,W,Z}
auf jeder offenen Menge gilt.
Es sei
M
{\displaystyle {}M}
eine
riemannsche Mannigfaltigkeit
und sei ein
linearer Zusammenhang
∇
{\displaystyle {}\nabla }
auf dem
Tangentialbündel
T
M
{\displaystyle {}TM}
gegeben, der
metrisch
und
torsionsfrei
sei.
Dann gilt für
stetig differenzierbare
Vektorfelder
V
,
W
,
Z
{\displaystyle {}V,W,Z}
auf jeder offenen Menge die sogenannte Koszul-Formel
⟨
∇
V
W
,
Z
⟩
=
1
2
(
D
V
⟨
W
,
Z
⟩
+
D
W
⟨
Z
,
V
⟩
−
D
Z
⟨
V
,
W
⟩
−
⟨
W
,
[
V
,
Z
]
⟩
−
⟨
Z
,
[
W
,
V
]
⟩
+
⟨
V
,
[
Z
,
W
]
⟩
)
.
{\displaystyle \left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle -\left\langle W,[V,Z]\right\rangle -\left\langle Z,[W,V]\right\rangle +\left\langle V,[Z,W]\right\rangle \right)}\,.}
Insbesondere kann es nur einen Zusammenhang mit diesen Eigenschaften geben.
Wegen der Torsionsfreiheit gilt
∇
V
W
−
∇
W
V
=
[
V
,
W
]
,
{\displaystyle {}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,,}
∇
V
Z
−
∇
Z
V
=
[
V
,
Z
]
{\displaystyle {}\nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V=[V,Z]\,}
und
∇
W
Z
−
∇
Z
W
=
[
W
,
Z
]
,
{\displaystyle {}\nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W=[W,Z]\,,}
wobei wir die erste Identität auch als
∇
V
W
+
∇
W
V
=
2
∇
V
W
−
[
V
,
W
]
{\displaystyle {}\nabla _{V}W+\nabla _{W}V=2\nabla _{V}W-[V,W]\,}
auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten
D
V
⟨
W
,
Z
⟩
=
⟨
∇
V
W
,
Z
⟩
+
⟨
W
,
∇
V
Z
⟩
,
{\displaystyle {}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,,}
D
W
⟨
Z
,
V
⟩
=
⟨
∇
W
Z
,
V
⟩
+
⟨
Z
,
∇
W
V
⟩
{\displaystyle {}D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle =\left\langle \nabla _{W}Z,V\right\rangle +\left\langle Z,\nabla _{W}V\right\rangle \,}
und
D
Z
⟨
V
,
W
⟩
=
⟨
∇
Z
V
,
W
⟩
+
⟨
V
,
∇
Z
W
⟩
.
{\displaystyle {}D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{Z}V,W\right\rangle +\left\langle V,\nabla _{Z}W\right\rangle \,.}
Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten
D
V
⟨
W
,
Z
⟩
+
D
W
⟨
Z
,
V
⟩
−
D
Z
⟨
V
,
W
⟩
=
⟨
∇
V
W
+
∇
W
V
,
Z
⟩
+
⟨
∇
W
Z
−
∇
Z
W
,
V
⟩
+
⟨
∇
V
Z
−
∇
Z
V
,
W
⟩
.
{\displaystyle D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W+\nabla _{W}V,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W,V\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V,W\right\rangle \,.}
In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten
D
V
⟨
W
,
Z
⟩
+
D
W
⟨
Z
,
V
⟩
−
D
Z
⟨
V
,
W
⟩
=
⟨
2
∇
V
W
−
[
V
,
W
]
,
Z
⟩
+
⟨
[
W
,
Z
]
,
V
⟩
+
⟨
[
V
,
Z
]
,
W
⟩
=
2
⟨
∇
V
W
,
Z
⟩
−
⟨
[
V
,
W
]
,
Z
⟩
+
⟨
[
W
,
Z
]
,
V
⟩
+
⟨
[
V
,
Z
]
,
W
⟩
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle &=\left\langle 2\nabla _{V}W-[V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle -\left\langle [V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle .\end{aligned}}}
Eine Umstellung ergibt die Formel.
Aufgrund der Gleichung ist
⟨
∇
V
W
,
Z
⟩
{\displaystyle {}\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle }
für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld
Z
{\displaystyle {}Z}
gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung
∇
V
W
{\displaystyle {}\nabla _{V}W}
und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
U
⊆
R
n
{\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
offen
und sei darauf eine
riemannsche Struktur
durch die Funktionen
(
g
i
j
)
{\displaystyle {}{\left(g_{ij}\right)}}
gegeben mit der
inversen Matrix
(
g
k
l
)
{\displaystyle {}{\left(g^{kl}\right)}}
. Es sei
∇
{\displaystyle {}\nabla }
der durch die
Christoffelsymbole
Γ
i
j
k
=
1
2
∑
l
=
1
n
g
k
l
(
∂
i
g
j
l
+
∂
j
g
i
l
−
∂
l
g
i
j
)
{\displaystyle {}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,}
gegebene
Levi-Civita-Zusammenhang ,
der durch
∇
∂
i
∂
j
=
∑
k
=
1
n
Γ
i
j
k
∂
k
{\displaystyle {}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,}
gekennzeichnet ist. Dann erfüllt
∇
{\displaystyle {}\nabla }
die folgenden Eigenschaften.
Es ist
⟨
∇
∂
i
∂
j
,
∂
k
⟩
=
1
2
(
D
∂
i
⟨
∂
j
,
∂
k
⟩
+
D
∂
j
⟨
∂
i
,
∂
k
⟩
−
D
∂
k
⟨
∂
i
,
∂
j
⟩
)
.
{\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle \right)}\,.}
Er erfüllt die Koszul-Formel aus
Fakt .
Er ist
torsionsfrei .
Er ist
metrisch .
Es ist
D
∂
k
⟨
∂
i
,
∂
j
⟩
=
∂
k
(
g
i
j
)
.
{\displaystyle {}D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =\partial _{k}{\left(g_{ij}\right)}\,.}
Ferner ist
⟨
∇
∂
i
∂
j
,
∂
k
⟩
=
⟨
∑
ℓ
=
1
n
Γ
i
j
ℓ
∂
ℓ
,
∂
k
⟩
=
∑
ℓ
=
1
n
Γ
i
j
ℓ
⟨
∂
ℓ
,
∂
k
⟩
=
∑
ℓ
=
1
n
Γ
i
j
ℓ
g
ℓ
k
=
1
2
∑
ℓ
=
1
n
(
∑
r
=
1
n
g
ℓ
r
(
∂
i
g
j
r
+
∂
j
g
i
r
−
∂
r
g
i
j
)
)
g
ℓ
k
=
1
2
∑
r
=
1
n
(
∂
i
g
j
r
+
∂
j
g
i
r
−
∂
r
g
i
j
)
(
∑
ℓ
=
1
n
g
ℓ
r
g
ℓ
k
)
=
1
2
(
∂
i
g
j
k
+
∂
j
g
i
k
−
∂
k
g
i
j
)
=
1
2
(
D
∂
i
⟨
∂
j
,
∂
k
⟩
+
D
∂
j
⟨
∂
i
,
∂
k
⟩
−
D
∂
k
⟨
∂
i
,
∂
j
⟩
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle &=\left\langle \sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\left\langle \,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{n}{\left(\sum _{r=1}^{n}g^{\ell r}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}\right)}g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{r=1}^{n}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}{\left(\sum _{\ell =1}^{n}g^{\ell r}g_{\ell k}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ik}-\partial _{k}g_{ij}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle \right)}.\end{aligned}}}
Da die Lie-Klammern
[
∂
i
,
∂
j
]
{\displaystyle {}[\partial _{i},\partial _{j}]}
auf
U
{\displaystyle {}U}
trivial sind, gilt die Koszul-Formel für die Basisfelder
∂
i
{\displaystyle {}\partial _{i}}
nach Teil (1). Für den allgemeinen Fall siehe
Aufgabe .
Nach
Fakt
und wegen
[
∂
i
,
∂
j
]
=
0
{\displaystyle {}[\partial _{i},\partial _{j}]=0}
ist
∇
∂
i
∂
j
=
∇
∂
j
∂
i
.
{\displaystyle {}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}\,.}
Daraus folgt die Aussage mit
Aufgabe .
Nach Teil (1) ist
⟨
∇
∂
i
∂
j
,
∂
k
⟩
+
⟨
∇
∂
i
∂
k
,
∂
j
⟩
=
1
2
(
D
∂
i
⟨
∂
j
,
∂
k
⟩
+
D
∂
j
⟨
∂
i
,
∂
k
⟩
−
D
∂
k
⟨
∂
i
,
∂
j
⟩
+
D
∂
i
⟨
∂
k
,
∂
j
⟩
+
D
∂
k
⟨
∂
i
,
∂
j
⟩
−
D
∂
j
⟨
∂
i
,
∂
k
⟩
)
=
D
∂
i
⟨
∂
j
,
∂
k
⟩
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{k},\partial _{j}\right\rangle &={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{k},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle -D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle \right)}\\&=D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle .\end{aligned}}}
Daraus folgt die Aussage mit
Aufgabe .
◻
{\displaystyle \Box }
Nach
Fakt
kann es höchstens einen solchen Zusammenhang geben. Nach
Fakt
kann man lokal für ein Kartengebiet explizit einen Zusammenhang mit den geforderten Eigenschaften angeben. Wegen der eben zitierten Eindeutigkeit stimmen die so konstruierten Zusammenhänge auf den Durchschnitten der Karten überein.
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
X
{\displaystyle {}X}
eine
riemannsche Mannigfaltigkeit .
Dann erfüllt der
Levi-Civita-Zusammenhang
∇
{\displaystyle {}\nabla }
die folgenden Eigenschaften.
∇
{\displaystyle {}\nabla }
ist
linear .
∇
{\displaystyle {}\nabla }
ist metrisch, d.h.
D
V
⟨
W
,
Z
⟩
=
⟨
∇
V
W
,
Z
⟩
+
⟨
W
,
∇
V
Z
⟩
.
{\displaystyle {}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.}
∇
{\displaystyle {}\nabla }
ist torsionsfrei, d.h. es ist
∇
V
W
−
∇
W
V
=
[
V
,
W
]
.
{\displaystyle {}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,.}
◻
{\displaystyle \Box }