Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Textabschnitt

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$

für ${}x\in G$. Es sei ${}Q\subseteq G$ ein kompakter achsenparalleler Quader.

Dann gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n}(Q)\cdot {\min {\left(\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert ,x\in Q\right)}}&\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&\leq \lambda ^{n}(Q)\cdot {\max {\left(\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert ,x\in Q\right)}}.\end{aligned}}$

Beweis

Wir setzen ${}j(x)=\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert$. Wir beweisen zuerst die Abschätzung nach oben. Wir schreiben ${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=c\cdot \lambda ^{n}(Q)$ mit einem ${}c\neq 0$ und wir müssen ${}c\leq {\max {\left(j(x),x\in Q\right)}}$ zeigen.
  Wir konstruieren induktiv eine Folge von abgeschlossenen achsenparallelen Teilquadern ${}Q_{m}$, ${}m\in \mathbb {N}$, mit der Eigenschaft

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m}))\geq c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m})\,.$

 Es sei

${}Q_{0}=Q$. Für den Induktionsschluss von ${}m$ auf ${}m+1$ betrachten wir sämtliche ${}2^{n}$ Teilquader von ${}Q_{m}$ mit halbierter Kantenlänge. Würden diese Teilquader ${}K_{i}$ alle die Ungleichung ${}\lambda ^{n}(\varphi (K_{i}))<c\cdot \lambda ^{n}(K_{i})$ erfüllen, so ergebe sich durch Aufsummieren sofort ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung (wegen Fakt sind die Ränder der Quader unerheblich). Es gibt also mindestens einen Quader ${}Q_{m+1}=K_{i}$ mit ${}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m+1}))\geq c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m+1})$.
Diese Quaderschachtelung definiert in jeder Komponente eine Intervallschachtelung und damit nach Fakt einen Punkt ${}P\in \bigcap _{m\in \mathbb {N} }Q_{m}$. Wegen der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes können wir ${}P=0$ und ${}\varphi (P)=0$ annehmen. Es sei ${}L=\left(D\varphi \right)_{0}$ das totale Differential.
Da ${}\varphi$ in ${}0$ differenzierbar ist, gilt

${}\varphi (v)={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

mit einer in ${}0$ stetigen Abbildung ${}r$, die dort den Limes ${}0$ besitzt. Die lineare Approximation

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto L(v)={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(v\right)},$

bildet jeden Quader ${}K$ auf ein Parallelotop ${}T=L(K)$ ab, das nach Fakt das Maß ${}\lambda ^{n}(L(K))=j(0)\cdot \lambda ^{n}(K)$ besitzt. Wir wollen ${}\varphi (K)$ mit ${}L(K)$ für einen geeigneten Quader ${}K$ vergleichen. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, ist ${}L$ ein Isomorphismus und daher gibt es ein ${}b\geq 0$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq b\Vert {L(v)}\Vert$ für alle ${}v$. Somit gibt es wegen der Stetigkeit von ${}b\Vert {r(v)}\Vert$ zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit

${}\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {r(v)}\Vert \leq \epsilon \Vert {L(v)}\Vert \,$

für alle ${}v$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq \delta$. Es sei ${}K\subseteq B\left(0,\delta \right)$, ${}0\in K$, ein Quader. Für ${}v\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (v)-L(v)}\Vert &=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {r(v)}\Vert \\&\leq \epsilon \Vert {L(v)}\Vert .\end{aligned}}$

D.h. dass ${}\varphi (K)$ in dem Parallelotop ${}T'$ liegt, das aus ${}T=L(K)$ durch Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}1+\epsilon$ entsteht. Damit gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (K))\leq \lambda ^{n}(T')=(1+\epsilon )^{n}\cdot \lambda ^{n}(T)=(1+\epsilon )^{n}\cdot j(0)\cdot \lambda ^{n}(K)\,.$

 Wir nehmen an, dass ${}{\max {\left(j(x),x\in Q\right)}}<c$ gilt. Dann kann man auch ein ${}\epsilon >0$ mit ${}(1+\epsilon )^{n}j(0)<c$ finden. Wir nehmen ein ${}\delta >0$ derart, dass die oben beschriebene Eigenschaft bezüglich diesem ${}\epsilon$ besitzt. Für ${}m$ hinreichend groß kann man dann die obige Überlegung auf die Quader ${}K=Q_{m}$ anwenden und erhält

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m}))<c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m})\,$

 im Widerspruch zur Konstruktion dieser Quaderfolge.Wir zeigen zunächst, dass die Abschätzung nach oben nicht nur für Quader, sondern für beliebige

kompakte Mengen ${}T$ gilt. Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine abzählbare Überpflasterung mit achsenparallelen Quadern ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, von ${}T$ mit

${}\lambda ^{n}(T)\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq \lambda ^{n}(T)+\epsilon \,.$

Durch Beschränkung der Kantenlängen der ${}Q_{i}$ kann man weiter erreichen, dass alle ${}Q_{i}$ in einer größeren ebenfalls kompakten Menge ${}{\tilde {T}}\supseteq T$ liegen. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${}j$ auf ${}{\tilde {T}}$, die auf Fakt beruht, kann man zu gegebenem ${}{\tilde {\epsilon }}>0$ die ${}Q_{i}$ so wählen, dass ${}{\max {\left(j(x),x\in Q_{i}\right)}}\leq {\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}$ gilt. Damit ergibt sich

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n}(\varphi (T))&\leq \lambda ^{n}{\left(\bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{i}))\\&\leq \sum _{i\in I}{\max {\left(j(x),x\in Q_{i}\right)}}\lambda ^{n}(Q_{i})\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\lambda ^{n}(Q_{i})\\&={\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\cdot {\left(\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\right)}\\&\leq {\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\cdot {\left(\lambda ^{n}(T)+\epsilon \right)}.\end{aligned}}$

Da ${}\epsilon$ und ${}{\tilde {\epsilon }}$ beliebig klein gewählt werden können, gilt diese Abschätzung auch ohne ${}\epsilon$ und ${}{\tilde {\epsilon }}$.
Wir wenden nun die Abschätzung nach oben auf die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ und ${}T=\varphi (Q)$ an. Als Bild einer kompakten Menge ist ${}T$ nach Fakt wieder kompakt. Dabei gilt aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes die Beziehung

${}\left(D(\varphi ^{-1})\right)_{y}=(\left(D\varphi \right)_{x})^{-1}\,$

mit ${}y=\varphi (x)$. Dies ergibt

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n}(Q)&=\lambda ^{n}(\varphi ^{-1}(\varphi (Q)))\\&\leq {\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi ^{-1}\right)_{y}\!\mid ,y\in \varphi (Q)\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi ^{-1}\right)_{\varphi (x)}\!\mid ,x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}^{-1}\!\mid ,x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ^{-1},x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q)).\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich

$\lambda ^{n}(Q)\cdot {\min {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ,x\in Q\right)}}=\lambda ^{n}(Q)\cdot {\frac {1}{\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ^{-1},x\in Q\right)}}}\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\,.$

$\Box$

Korollar

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$. Es sei ${}Q\subseteq G$ ein kompakter achsenparalleler Quader.

Dann gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=\int _{Q}\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Da ${}\varphi$ stetig differenzierbar ist, ist die Abbildung

$G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto j(x)=\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert =\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert ,$

stetig und daher nach Fakt gleichmäßig stetig auf dem kompakten Quader ${}Q$. D.h. zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}j(B\left(x,\delta \right))\subseteq B\left(j(x),\epsilon \right)$ für alle ${}x\in Q$. Dann gibt es auch ein ${}{\tilde {\delta }}>0$ derart, dass für alle kompakten Teilquader ${}K\subseteq Q$ mit maximaler Kantenlänge ${}\leq {\tilde {\delta }}$ das Bild ${}j(K)$ in einem abgeschlossenen Intervall der Länge ${}2\epsilon$ liegt. Damit ist die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum von ${}{\left\{j(x)\mid x\in K\right\}}$ maximal gleich ${}2\epsilon$.

Sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wir unterteilen ${}Q$ in ${}k^{n}$ kompakte Teilquader, indem wir jede Quaderkante in ${}k$ gleichlange Teile unterteilen, und wählen dabei ${}k\in \mathbb {N}$ so groß, dass die entstehenden ${}k^{n}$ Teilquader die oben beschriebene Eigenschaft haben. Es sei ${}I$ eine Indexmenge zu dieser Unterteilung, es ist also ${}Q=\bigcup _{i\in I}K_{i}$ und damit ${}\varphi (Q)=\bigcup _{i\in I}\varphi (K_{i})$. Diese beiden Vereinigungen sind nicht disjunkt, jedoch sind die Schnittmengen der Quader nach Fakt und die Schnittmengen der ${}\varphi (K_{i})$ als Bilder von Quaderseiten nach Fakt Nullmengen. Wir wenden Fakt auf die Teilquader ${}K_{i}$ an und erhalten

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})\cdot {\min {\left(j(x),x\in K_{i}\right)}}&\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&=\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (K_{i}))\\&\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})\cdot {\max {\left(j(x),x\in K_{i}\right)}}.\end{aligned}}$

Dabei ist die Differenz zwischen links und rechts durch

${}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(K_{i})2\epsilon =2\epsilon \lambda ^{n}(Q)\,$

beschränkt, kann also durch ${}\epsilon \rightarrow 0$ beliebig klein gemacht werden. Die gleichen Abschätzungen gelten wegen der Monotonie des Integrals auch für das Integral ${}\int _{Q}j(x)\,d\lambda ^{n}(x)$, so dass

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=\int _{Q}j(x)\,d\lambda ^{n}(x)\,$

gilt.

$\Box$

Satz

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$. Es sei ${}S\subseteq G$ eine messbare Menge.

Dann ist ${}\varphi (S)$ ebenfalls messbar und es gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (S))=\int _{S}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Ein Diffeomorphismus und seine Umkehrabbildung sind stetig, daher liegt eine Bijektion der messbaren Teilmengen von ${}G$ und von ${}H$ vor. Wir betrachten die beiden Zuordnungen

${\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \int _{S}\vert {J(\varphi )(x)}\vert \,d\lambda ^{n}(x),$

also das Maß auf ${}G$ mit der Dichte ${}\vert {J(\varphi )(x)}\vert$, und

${\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \lambda ^{n}(\varphi (S)),$

also das Bildmaß von ${}\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$, und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind.
Nach Fakt gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund von Aufgabe bzw. Fakt gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. „nach oben halboffenen“ achsenparallelen Quader, also Produkte von nach oben halboffenen Intervallen. Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen Mengen-Präring im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für das System der Borelmengen. Daher müssen nach Fakt die beiden Maße generell übereinstimmen.

$\Box$

Wir kommen zur Transformationsformel für Integrale.

Satz

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$

für ${}x\in G$. Es sei

$f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare Funktion.

Dann ist ${}f$ auf ${}H$ genau dann integrierbar, wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Die Zuordnung ${}S\mapsto \lambda ^{n}(\varphi (S))$ für messbare Mengen ${}S\subseteq G$ ist ein Maß auf ${}{\mathcal {B}}(G)$ und zwar handelt es sich um das Bildmaß ${}\varphi _{*}^{-1}\lambda ^{n}$ von ${}\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G.$

Nach Fakt besitzt dieses Maß die Dichte ${}x\mapsto \vert {(J(\varphi ))(x)}\vert$. Daher gilt nach Aufgabe und der allgemeinen Transformationsformel

${}{\begin{aligned}\int _{G}(f\circ \varphi )\cdot \vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}&=\int _{G}(f\circ \varphi )\,d(\varphi _{*}^{-1}\lambda ^{n})\\&=\int _{H}(f\circ \varphi \circ \varphi ^{-1})\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{H}f\,d\lambda ^{n}.\end{aligned}}$

$\Box$