Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt . Eine Familie von Vektoren , , von heißt Orthonormalsystem, wenn

gilt.

Zu einem gegebenen Orthonormalsystem , , und einem Vektor spielen die Koeffizienten eine wichtige Rolle, man spricht von den Fourierkoeffizienten des Vektors bezüglich des Systems, wobei diese Sprechweise insbesondere im Kontext von Fourierreihen verwendet wird. Eine wichtige Frage ist, in welcher Beziehung zu steht, wobei bei unendlich zuerst zu klären ist, in welchem Sinne eine solche unendlich Summe verstanden werden kann. Im endlichen Fall haben wir folgende Beschreibung, auf die man weitere Resultate zurückführen kann.



Lemma  

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt , sei , , ein endliches Orthonormalsystem mit dem davon erzeugten Untervektorraum .

Dann gilt für die orthogonale Projektion

Beweis  

Es sei

es ist nach Fakt lediglich zu zeigen, dass orthogonal zu den ist. Dies ergibt sich direkt aus



Beispiel  

Es sei eine endliche Menge und

die Menge der -wertigen Funktionen auf , versehen mit dem Standardskalarprodukt. Eine Funktion kann einfach durch eine vollständige Wertetabelle beschrieben werden. Es kann aber auch sinnvoll sein, die Funktion durch eine Funktion aus einem vorgegebenen Untervektorraum zu approximieren. Dabei liefert das Skalarprodukt und die zugehörige orthogonale Projektion auf ein naheliegendes Hilfsmittel, um eine optimale Approximation zu finden. Nach Fakt ist diejenige Funktion, die unter allen Funktionen aus zu den minimalen Abstand besitzt, wobei der Abstand zu über das Skalarprodukt gegeben ist, also durch

Wenn , , eine Orthonormalbasis von ist, so ist

nach Fakt die beste Approximation. Das so bestimmte minimiert also die Summe der einzelnen Differenzquadrate, man spricht von der Methode der kleinsten Fehlerquadrate.

Eine typische Anwendung ist, wenn Messtellen repräsentiert, etwa , und Messergebnisse, die eventuell fehlerhaft sein können. Man weiß aus physikalischen Gründen, dass die Abhängigkeit einer gewissen Gesetzmäßigkeit gehorchen muss, beispielsweise ein linearer Zusammenhang sein muss oder als Flugbahn eines Planeten eine Ellipse sein muss oder ähnliches. Diese Gesetzmäßigkeit legt den (typischerweise niedrigdimensionalen) Untervektorraum fest, in dem nach einer optimalen Approximation gesucht wird, das den Messergebnissen möglichst nahe kommt.



Beispiel  

Von einer unbekannten Funktion sei der Datensatz gegeben und es sei bekannt, dass eine affin-lineare Funktion sein muss. Der Datensatz beruht auf Messungen, in denen Fehler und Ungenauigkeiten vorkommen können, die drei Punkte liegen nicht wirklich auf einer Geraden. Es wird nach der affin-linearen Funktion gesucht, die gut zu den Daten passt. Wir betrachten die Abbildung

die einem Parameterpaar , das die affin-lineare Funktion repräsentiert, die Auswertung an den drei Punkten zuordnet. Dabei ist eine injektive lineare Abbildung und das Bild ist ein zweidimensionaler Untervektorraum von . Diese Ebene steht senkrecht zum Vektor , eine Basis ist durch und gegeben (die unter von der Basis und des herrührt). Die optimale Approximation (im Sinne der euklidischen Norm bzw. im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate) ist die orthogonale Projektion des Wertetupels auf die Ebene. Dies führt zum linearen Gleichungssystem

mit den Lösungen , und . Daher ist

Der entsprechende Punkt auf dem ist

Die beste Approximation ist also

Es ist , und .






Beispiel  

In der Situation von Beispiel kommt man mit Fakt deutlich schneller ans Ziel. Es ist

und daher

und



Definition  

Ein Orthonormalsystem , , in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt heißt vollständig oder eine Hilbertbasis, wenn der von den erzeugte Untervektorraum dicht in ist.

Die folgende Aussage heißt Besselsche Abschätzung.


Lemma  

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , ein Orthonormalsystem.

Dann ist für jeden Vektor die Familie , , summierbar und es gilt

Beweis  

Für jede endliche Teilmenge schreiben wir

(dabei ist orthogonal zu und hängt von ab) und erhalten aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen

Nach Aufgabe ist die Familie summierbar und ihre Summe ist durch beschränkt.



Korollar  

Es sei ein -Hilbertraum und sei , , ein Orthonormalsystem.

Dann ist zu einem Vektor die Vektorenfamilie , , summierbar.

Beweis  

Für jede endliche Teilmenge ist

was nach Fakt durch beschränkt ist. Daher ist die Familie eine Cauchy-Familie und somit wegen der Vollständigkeit des Raumes nach Fakt summierbar.


Im Allgemeinen gibt es keinen direkten Zusammenhang zwischen und , man denke etwa an kleine Orthonormalsysteme. Der folgende Satz charakterisiert die vollständigen Orthonormalsysteme.


Satz  

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , ein Orthonormalsystem. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Familie ist vollständig.
  2. Für jedes gilt
  3. Für jedes gilt

Beweis  

Von (1) nach (2). Die Vollständigkeit des Orthonormalsystems bedeutet, dass es zu jedem Vektor und jedem ein Koeffiziententupel mit einer endlichen Trägermenge mit

gibt. Nach Fakt erfüllt erst recht diese Eigenschaft. Dies heißt aber, dass die Summe gleich ist. Von (2) nach (1) ergibt sich aus Fakt.

Zum Nachweis der Äquivalenz von (2) und (3) ziehen wir für eine endliche Teilmenge die Gleichung

heran. (2) bedeutet, dass die linke Seite beliebig klein wird, (3) bedeutet, dass die rechte Seite beliebig klein wird, daher sind die Eigenschaften äquivalent.



Lemma

Es sei , , ein Orthonormalsystem in einem -Hilbertraum .

Dann kann man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzen.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Bemerkung  

In einem -Vektorraum mit Skalarprodukt kann man ein gegebenes System von linear unabhängigen Vektoren , , mit Hilfe des Orthonomalisierungsverfahrens im endlichdimensionalen Fall in ein abzählbar unendliches Orthonormalsystem überführen. Speziell kann man in einem separablen Hilbertraum aus jeder linear unabhängigen Familie, die einen dichten Untervektorraum erzeugt, ein abzählbares vollständiges Orthonormalsystem gewinnen.




Definition  

Es sei ein -Hilbertraum und sei , , ein vollständiges Orthonormalsystem. Dann nennt man zu die Darstellung

die Fourierentwicklung von und die rechte Seite eine Fouriersumme. Die Koeffizienten heißen Fourierkoeffizienten.

Im separablen Fall, wenn das vollständige Orthonormalsystem abzählbar ist und durch , , (oder als geordnete Indexmenge) gegeben ist, so nennt man die Darstellung

auch die Fourierreihe zu bezüglich des gegebenen Systems. Die Sprechweise wird insbesondere bei periodischen Funktionen mit dem trigonometrischen Orthonormalsystem verwendet.