Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 15

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Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal . Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.

(Man nennt diesen Körper auch den Restekörper zu ).

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer lokaler Ring. Zeige, dass zusammenhängend ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ. Es seien endlich viele Punkte in . Zeige, dass der Umgebungsfilter dieser Punkte durch offene Mengen der Form erzeugt wird.

D.h. es ist zu zeigen, dass es zu offen stets ein gibt mit

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus den maximalen Idealen in entsprechen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine integre -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Sei ein Element im Quotientenkörper von . Zeige, dass

ein Ideal in ist. Zeige ferner, dass der (maximale) Definitionsbereich der algebraischen Funktion ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

Bestimme für jeden Punkt , ob der lokale Ring an ein Integritätsbereich ist oder nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine gerichtete Indexmenge und sei , , ein gerichtetes System von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der Kolimes eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine gerichtete Indexmenge und sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Es sei eine weitere Menge und zu jedem sei eine Abbildung

mit der Eigenschaft gegeben, dass ist für alle (wobei die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

derart gibt, dass ist, wobei die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls eine gerichtetes System von Gruppen und falls ebenfalls eine Gruppe ist und alle Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine endlich erzeugte kommutative -Algebra. Es seien und zwei topologische Filter in mit . Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper, sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ und sei ein multiplikatives System in . Zu definieren wir

Zeige, dass ein topologischer Filter ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus

gibt, der eine Isomorphie ist, falls algebraisch abgeschlossen und reduziert ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine endlich erzeugte kommutative -Algebra. Sei ein Punkt. Zeige, dass der Halm ein lokaler Ring ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene zusammen mit der -Achse

Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.

Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu gehören.

Sei der zugehörige topologische Filter. Vergleiche mit dem Umgebungsfilter zu und dem generischen Filter zu .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System. Auf betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir , falls eine Potenz von teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe

ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und seien Elemente, die das Einheitsideal erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen noethersch sind für . Zeige, dass dann auch noethersch ist.