Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 24

Gitter

In der nächsten Vorlesung werden wir einen Zahlbereich über seine reellen und komplexen Einbettungen als Gitter in einem reellen Vektorraum realisieren. Hier besprechen wir die dazu notwendigen Begrifflichkeiten aus der konvexen Geometrie.

Definition

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in ${}\mathbb {R} ^{n}$. Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu ${}\mathbb {Q} ^{n}$ gehören. Das durch die Standardvektoren ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugte Gitter heißt Standardgitter.

Lemma

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Dann stimmen die zugehörigen Gitter  ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$  und  ${}\Delta =\mathbb {Z} w_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} w_{n}$  genau dann überein, wenn ihre Übergangsmatrix ganzzahlig mit Determinante ${}\pm 1$ ist.

Beweis

Es seien ${}M$ und ${}N$ die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt

${}M\circ N=E_{n}\,$

und

${}\det M\cdot \det N=1\,$

nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus  ${}v_{j}\in \Delta$,  dass in

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

die Koeffizienten ${}c_{ij}$ ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten ${}1$ oder ${}-1$ sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in ${}\mathbb {Z}$ sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

${}\Gamma \subseteq \Delta \subseteq \Gamma \,$

und damit Gleichheit.

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Beispiel

Das Standardgitter ${}\Gamma$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ wird durch die Standardbasis ${}e_{1},e_{2}$ erzeugt, aber auch durch die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$, siehe Lemma 24.2.

Satz

Zu einem Gitter  ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 

ist die topologische Restklassengruppe ${}\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$ isomorph zum ${}n$-dimensionalen Torus ${}S^{1}\times \cdots \times S^{1}$ (mit ${}n$ Faktoren).

Beweis

Nach Aufgabe 24.3 können wir davon ausgehen, dass ${}\Gamma$ das Standardgitter ${}\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}$ ist. Für dieses gilt

${}\mathbb {R} ^{n}/{\left(\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}\right)}={\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{1}\right)}\times \cdots \times {\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{n}\right)}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}\,.$

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Konvexe Mengen

Definition

Eine Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten  ${}P,Q\in T$  auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren.

Definition

Zu einer Teilmenge  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  heißt die kleinste konvexe Teilmenge ${}T$, die ${}U$ umfasst, die konvexe Hülle von ${}U$.

Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die ${}U$ umfassen.

Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus ${}U$ legt und die Schnur dann zusammen zieht. Dreidimensional nehme man ein Stofftuch.

Definition

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${}\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit  ${}\epsilon _{i}\in \{0,1\}$  als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form

$r_{1}v_{1}+\cdots +r_{n}v_{n}{\text{ mit }}r_{i}\in [0,1]$

Wir werden die Grundmasche häufig mit ${}{\mathfrak {M}}$ bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt ${}P$ nennt man die Menge ${}P+{\mathfrak {M}}$ eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt  ${}Q\in \mathbb {R} ^{n}$  hat eine eindeutige Darstellung  ${}Q=t_{1}v_{1}+\cdots +t_{n}v_{n}$  und damit ist

$Q=(\lfloor t_{1}\rfloor v_{1}+\cdots +\lfloor t_{n}\rfloor v_{n})+((t_{1}-\lfloor t_{1}\rfloor )v_{1}+\cdots +(t_{n}-\lfloor t_{n}\rfloor )v_{n})\,,$

wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.

Da ein Gitter keine wohldefinierte Gitterbasis besitzt, gibt es eine wohldefinierte Grundmasche nur dann, wenn eine Gitterbasis fixiert wurde, siehe Beispiel 24.3. Allerdings, und dies ist entscheidend, ist das Volumen einer Grundmasche unabhängig von der Gitterbasis und hängt nur vom Gitter selbst ab. Dies folgt aus Lemma 24.2 in Verbindung mit Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)). Das Volumen eines Parallelotops und insbesondere einer Grundmasche kann man mit den beiden folgenden Sätzen berechnen.  Vergleiche die Definition der Diskriminante und Lemma 8.9

Satz

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda$ auf ${}\mathbb {R} ^{n}$

${}\lambda (P)=\vert {\det \left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\vert \,,$

wobei in der Matrix die Koordinaten von ${}v_{i}$ bezüglich der Standardbasis stehen.

Beweis

Dies ist der entscheidende Schritt zum Beweis zu Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)), siehe den Beweis dort.

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Satz

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda _{V}$ auf ${}V$

${}\lambda _{V}(P)={\left(\det(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\,.$

Beweis

Für den Beweis siehe Satz 24.9.

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Der Gitterpunktsatz von Minkowski

Hermann Minkowski (1864-1909)

Definition

Eine Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt  ${}P\in T$  auch der Punkt ${}-P$ zu ${}T$ gehört.

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$

eine endliche Teilmenge  ${}J\subseteq I$  derart gibt, dass

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

ist.

Nach dem Satz von Heine-Borel ist eine Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Ein weiterer im Folgenden wichtiger Aspekt ist, dass disjunkte kompakte Teilmengen  ${}Y,Z\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  einen positiven Abstand haben, dass es also ein  ${}d>0$  mit

${}d(P,Q)>d\,$

für alle  ${}P\in X$  und  ${}Q\in Y$  gibt, siehe Aufgabe 24.14. Es wird auch der Minimalabstand angenommen, siehe Aufgabe 24.15.

Der folgende Satz heißt Gitterpunktsatz von Minkowski.

Satz

Es sei ${}\Gamma$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$. Es sei ${}T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung

${}\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$

erfülle. Dann enthält ${}T$ mindestens einen von ${}0$ verschiedenen Gitterpunkt.

Beweis

Wir betrachten das verdoppelte Gitter ${}2\Gamma$. Ist ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis für ${}\Gamma$, so ist ${}2v_{1},\ldots ,2v_{n}$ eine Basis für ${}2\Gamma$. Wir bezeichnen die Grundmasche von ${}2\Gamma$ mit ${}{\mathfrak {N}}$, für ihr Volumen gilt  ${}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})=2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})$.  Zu jeder Masche  ${}{\mathfrak {N}}_{Q}=Q+{\mathfrak {N}}$,   ${}Q\in 2\Gamma$,  betrachten wir den Durchschnitt

${}T_{Q}=T\cap {\mathfrak {N}}_{Q}\,.$

Da ${}T$ kompakt und insbesondere beschränkt ist, gibt es nur endlich viele Maschen derart, dass dieser Durchschnitt nicht leer ist. Es seien diese Maschen (bzw. ihre Ausgangspunkte bzw. ihre Durchschnitte) mit ${}{\mathfrak {N}}_{i}\,({\text{bzw. }}Q_{i}{\text{bzw. }}T_{i})$, ${}i\in I$, bezeichnet (da der Nullpunkt aufgrund der Konvexität und der Zentralsymmetrie zu ${}T$ gehört, umfasst ${}I$ zumindest ${}2^{n}$ Elemente). Die in die Grundmasche ${}{\mathfrak {N}}$ verschobenen Durchschnitte bezeichnen wir mit

${}{\tilde {T}}_{i}:=T_{i}-Q_{i}\,.$

Wir behaupten zunächst, dass die ${}{\tilde {T}}_{i}$ nicht paarweise disjunkt sind. Es sei also angenommen, sie wären paarweise disjunkt. Mindestens eines der ${}T_{i}$ (und damit der ${}{\tilde {T}}_{i}$) hat positives Volumen, sagen wir für  ${}i=1$.  Wegen der angenommenen Disjunktheit sind insbesondere

$X:={\tilde {T}}_{1}\,\,{\text{ und }}\,\,Y:=\bigcup _{i\in I,i\neq 1}{\tilde {T}}_{i}$

disjunkt zueinander. Wir haben also zwei disjunkte kompakte Teilmengen, und diese besitzen einen Minimalabstand ${}d$ (d.h. zu jedem Punkt aus ${}X$ liegen in einer ${}d$-Umgebung keine Punkte aus ${}Y$, siehe Aufgabe 24.14). Es sei  ${}x\in X$  ein innerer Punkt (den es gibt, da ${}X$ konvex ist und ein positives Volumen besitzt) und sei  ${}y\in Y$.  Mit ${}S$ sei die Verbindungsstrecke von ${}x$ nach ${}y$ bezeichnet, die ganz in ${}{\mathfrak {N}}$ verläuft. Wir wählen einen Punkt  ${}s\in S$,  der weder zu ${}X$ noch zu ${}Y$ gehört (solche Punkte gibt es wegen des Minimalabstandes). Da ${}s$ sowohl zu ${}X$ als auch zu ${}Y$ einen Minimalabstand besitzt, gibt es eine ${}\epsilon$-Umgebung ${}B$ von ${}s$, die disjunkt zu ${}X$ und ${}Y$ ist. Wir können ferner annehmen, dass ${}B$ ganz innerhalb von ${}{\mathfrak {N}}$ liegt (wegen der Wahl von ${}x$). Als eine Ballumgebung hat ${}B$ ein positives Volumen, was zu folgendem Widerspruch führt.

${}{\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})&\geq \operatorname {Vol} (X\cup Y\cup B)\\&=\operatorname {Vol} {\left(\bigcup _{i\in I}{\tilde {T}}_{i}\right)}+\operatorname {Vol} (B)\\&>\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} ({\tilde {T}}_{i})\\&=\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} (T_{i})\\&=\operatorname {Vol} (T)\\&\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\\&=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}}).\end{aligned}}$

Es gibt also Indizes  ${}i\neq j$  und einen Punkt  ${}z\in {\tilde {T}}_{i}\cap {\tilde {T}}_{j}$  (${}z$ muss selbst nicht zu ${}T$ gehören). Sei

$z_{i}:=z+Q_{i}\in T_{i}\,\,{\text{ und }}\,\,z_{j}:=z+Q_{j}\in T_{j}.$

Wegen  ${}Q_{i},Q_{j}\in 2\Gamma$  ist auch  ${}Q_{i}-Q_{j}\in 2\Gamma$  und daher

${}0\neq {\frac {Q_{i}-Q_{j}}{2}}\in \Gamma \,.$

Aus  ${}z_{j}\in T$  folgt (wegen der Zentralsymmetrie) auch  ${}-z_{j}\in T$  und wegen der Konvexität von ${}T$ ergibt sich

${}{\frac {Q_{i}-Q_{j}}{2}}={\frac {1}{2}}(z_{i}-z)-{\frac {1}{2}}(z_{j}-z)={\frac {1}{2}}z_{i}-{\frac {1}{2}}z_{j}\in T\,.$

Wir haben also einen von Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt in ${}T$ gefunden.

$\Box$

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