Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 24/kontrolle

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Gitter

In der nächsten Vorlesung werden wir einen Zahlbereich über seine reellen und komplexen Einbettungen als Gitter in einem reellen Vektorraum realisieren. Hier besprechen wir die dazu notwendigen Begrifflichkeiten aus der konvexen Geometrie.


Definition  Referenznummer erstellen

Es seien linear unabhängige Vektoren im . Dann heißt die Untergruppe ein Gitter im .

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu , hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in . Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu gehören. Das durch die Standardvektoren erzeugte Gitter heißt Standardgitter.



Lemma  Lemma 24.2 ändern

Es seien und Basen im .

Dann stimmen die zugehörigen Gitter und genau dann überein, wenn ihre Übergangsmatrix ganzzahlig mit Determinante ist.

Beweis  

Es seien und die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt

und

nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Seien die Gitter gleich. Dann folgt aus , dass in

die Koeffizienten ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten oder sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

und damit Gleichheit.



Beispiel  Beispiel 24.3 ändern

Das Standardgitter im wird durch die Standardbasis erzeugt, aber auch durch die beiden Vektoren und , siehe Lemma 24.2.




Satz  Referenznummer erstellen

Zu einem Gitter

ist die topologische Restklassengruppe isomorph zum -dimensionalen Torus (mit Faktoren).

Beweis  

Nach Aufgabe 24.3 können wir davon ausgehen, dass das Standardgitter ist. Für dieses gilt




Konvexe Mengen

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Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

ebenfalls zu gehört.

Convex set.svg
Non Convex set.svg


Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren.


Definition  Referenznummer erstellen

Zu einer Teilmenge heißt die kleinste konvexe Teilmenge , die umfasst, die konvexe Hülle von .

Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die umfassen.

ConvexHull.png


Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus legt und die Schnur dann zusammen zieht. Dreidimensional nehme man ein Stofftuch.


Definition  Referenznummer erstellen

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren mit als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form

Wir werden die Grundmasche häufig mit bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt nennt man die Menge eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt hat eine eindeutige Darstellung und damit ist

wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.

Determinant parallelepiped.svg


Da ein Gitter keine wohldefinierte Gitterbasis besitzt, gibt es eine wohldefinierte Grundmasche nur dann, wenn eine Gitterbasis fixiert wurde, siehe Beispiel 24.3. Allerdings, und dies ist entscheidend, ist das Volumen einer Grundmasche unabhängig von der Gitterbasis und hängt nur vom Gitter selbst ab. Dies folgt aus Lemma 24.2 in Verbindung mit Satz 67.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)). Das Volumen eines Parallelotops und insbesondere einer Grundmasche kann man mit den beiden folgenden Sätzen berechnen.  Vergleiche die Definition der Diskriminante und Lemma 8.9


Satz

Es sei eine Basis im und sei das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß auf

wobei in der Matrix die Koordinaten von bezüglich der Standardbasis stehen.

Beweis

Dies ist der entscheidende Schritt zum Beweis zu Satz 67.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)), siehe den Beweis dort.



Satz

Es sei ein euklidischer Vektorraum, sei eine Basis von und sei das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß auf

Beweis

Für den Beweis siehe Satz 67.8 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).



Der Gitterpunktsatz von Minkowski

Definition  Referenznummer erstellen

Eine Teilmenge heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt auch der Punkt zu gehört.


Definition  Referenznummer erstellen

Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

ist.

Nach dem Satz von Heine-Borel ist eine Teilmenge des genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Ein weiterer im Folgenden wichtiger Aspekt ist, dass disjunkte kompakte Teilmengen einen positiven Abstand haben, dass es also ein mit

für alle und gibt, siehe Aufgabe 24.14. Es wird auch der Minimalabstand angenommen, siehe Aufgabe 24.15.

MinkowskischerGitterpunktsatz.png

Der folgende Satz heißt Gitterpunktsatz von Minkowski.



Satz  Referenznummer erstellen

Sei ein Gitter im mit Grundmasche . Es sei eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in , die zusätzlich die Volumenbedingung

erfülle. Dann enthält mindestens einen von verschiedenen Gitterpunkt.

Beweis  

Wir betrachten das verdoppelte Gitter . Ist eine Basis für , so ist eine Basis für . Wir bezeichnen die Grundmasche von mit , für ihr Volumen gilt . Zu jeder Masche , , betrachten wir den Durchschnitt

Da kompakt und insbesondere beschränkt ist, gibt es nur endlich viele Maschen derart, dass dieser Durchschnitt nicht leer ist. Seien diese Maschen (bzw. ihre Ausgangspunkte bzw. ihre Durchschnitte) mit , , bezeichnet (da der Nullpunkt aufgrund der Konvexität und der Zentralsymmetrie zu gehört, umfasst zumindest Elemente). Die in die Grundmasche verschobenen Durchschnitte bezeichnen wir mit

Wir behaupten zunächst, dass die nicht paarweise disjunkt sind. Sei also angenommen, sie wären paarweise disjunkt. Mindestens eines der (und damit der ) hat positives Volumen, sagen wir für . Wegen der angenommenen Disjunktheit sind insbesondere

disjunkt zueinander. Wir haben also zwei disjunkte kompakte Teilmengen, und diese besitzen einen Minimalabstand (d.h. zu jedem Punkt aus liegen in einer -Umgebung keine Punkte aus , siehe Aufgabe 24.14). Sei ein innerer Punkt (den es gibt, da konvex ist und ein positives Volumen besitzt) und sei . Mit sei die Verbindungsstrecke von nach bezeichnet, die ganz in verläuft. Wir wählen einen Punkt , der weder zu noch zu gehört (solche Punkte gibt es wegen des Minimalabstandes). Da sowohl zu als auch zu einen Minimalabstand besitzt, gibt es eine -Umgebung von , die disjunkt zu und ist. Wir können ferner annehmen, dass ganz innerhalb von liegt (wegen der Wahl von ). Als eine Ballumgebung hat ein positives Volumen, was zu folgendem Widerspruch führt.

Es gibt also Indizes und einen Punkt ( muss selbst nicht zu gehören). Sei

Wegen ist auch und daher

Aus folgt (wegen der Zentralsymmetrie) auch und wegen der Konvexität von ergibt sich

Wir haben also einen von Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt in gefunden.