Kurs:Analysis/Teil I/26/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	7	6	1	3	5	7	3	2	6	6	2	5	3	2	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein neutrales Element ${}e\in M$ zu einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

2. Eine obere Schranke einer Teilmenge ${}M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Grenzwert einer Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

   ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmenge, in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$.

4. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

5. Der Differenzenquotient zu einer Funktion

   $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt ${}a\in D$ einer offenen Menge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$.

6. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.

Lösung

1. Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit

   $x\circ e=x=e\circ x$

   gilt.

2. Ein Element ${}S\in K$ mit ${}x\leq S$ für alle ${}x\in M$ heißt obere Schranke für ${}M$.
3. Ein Element ${}b\in {\mathbb {K} }$ heißt Grenzwert von ${}f$ in ${}a$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für jedes ${}x\in T$ aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$

   folgt.

4. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

   $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

   gibt.

5. Zu ${}x\in D$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

   ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

   der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

6. Eine Differentialgleichung der Form

   $y'=g(t)y$

   mit einer Funktion (${}I$ reelles Intervall)

   $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

   heißt homogene lineare Differentialgleichung.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts von Reihen.
3. Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen

   $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
2. Es seien

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

   zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

3. Die Funktionen ${}f,g$ seien in ${}a$ differenzierbar mit ${}g(a)\neq 0$. Dann ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.

1. Die ${}n$-te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch nur aus diesem Geschlecht besteht.
2. Die ${}n$-te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?

Lösung

1. Wenn die Generation nur aus dem Geschlecht ${}X$ besteht, so sind nur Paarungen innerhalb dieses Geschlechts möglich und das Ergebnis gehört stets diesem Geschlecht an. Mit Induktion folgt, dass dies über alle folgenden Generationen so bleibt.
2. Die Generation bestehe aus einem Individuum des Geschlechts ${}X$ und aus einem Individuum des Geschlechts ${}Y\neq X$. Die Folgegeneration besteht dann ausschließlich aus dem dritten Geschlecht ${}Z$ und nach Teil (1) überträgt sich das auf alle folgenden Generationen.
3. Wenn es nur ein oder kein Individuum gibt, so ist keine Paarung möglich und die nächste Generation ist leer. Wenn es zwei Individuen gibt, so ist nur eine Paarung möglich und es gibt nur einen Nachkommen, der sich allein nicht fortpflanzen kann. Wenn es dagegen mindestens drei Individuen, egal welchen Geschlechts, gibt, so sind auch mindestens drei Paarungen möglich und die nächste Generation besitzt mindestens wieder drei Individuen.
4. Wenn drei gleichgeschlechtliche Individuen in einer Generation leben, so erzeugen die drei möglichen Paare stets wieder ebendieses Geschlecht. Die Möglichkeiten sind ${}A,A,A$ oder ${}B,B,B$ oder ${}C,C,C$ und die Periodenlänge ist ${}1$. Wenn drei unterschiedliche Geschlechter vertreten sind, so ist jedes Geschlecht durch genau ein Individuum vertreten, es liegt also ${}A,B,C$ vor. Die drei Paarungen führen dann wieder zu ${}A,B,C$ und die Periodenlänge ist ebenfalls ${}1$. Wenn ein Geschlecht durch zwei Individuen vertreten ist und ein zweites Geschlecht durch ein Individuum, sagen wir ${}X,X,Y$, so wird daraus ${}X,Z,Z$ und daraus ${}Y,Y,Z$ und daraus ${}X,X,Y$. Die Periodenlänge ist also ${}3$. Von diesem Typ gibt es zwei Generationsabfolgen, nämlich die mit ${}A,A,B$ (mit $A,C,C$ und $B,B,C$) und die mit ${}A,B,B$ (mit $B,C,C$ und $A,A,C$).

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei

$f\colon K\longrightarrow K$

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}f$ ist genau dann streng wachsend, wenn ${}f^{-1}$ streng wachsend ist.
2. ${}f$ ist genau dann streng fallend, wenn ${}f^{-1}$ streng fallend ist.

Lösung

Wegen der Symmetrie der Situation muss man für beide Aussagen nur die Hinrichtung zeigen.

1. Es sei ${}f$ streng wachsend und ${}u>v$ aus ${}K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}f(x)=u$ und ${}f(y)=v$. Für diese gilt

   ${}x>y\,,$

   da sich andernfalls direkt ein Widerspruch zum strengen Wachstum von ${}f$ ergibt. Somit ist

   ${}f^{-1}(u)=x>y=f^{-1}(v)\,$

   und ${}f^{-1}$ ist ebenfalls streng wachsend.

2. Es sei ${}f$ streng fallend und ${}u>v$ aus ${}K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}f(x)=u$ und ${}f(y)=v$. Für diese gilt

   ${}x<y\,,$

   da sich andernfalls, aus ${}x\geq y$ wegen der Voraussetzung an ${}f$, streng fallend zu sein, direkt der Widerspruch ${}u=f(x)\leq f(y)=v$ ergibt. Somit ist

   ${}f^{-1}(u)=x<y=f^{-1}(v)\,$

   und ${}f^{-1}$ ist ebenfalls streng fallend.

Aufgabe (1 Punkt)

Jemand sagt zur Folge ${}x_{n}:={\frac {n}{2n}}$. „Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen ${}0$“. Beurteile diese Argumentation.

Lösung Rationale Folge/Nenner schneller/Argument/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=6X^{3}+X+1$ und ${}T=3X^{2}+2X-4$ durch.

Lösung

Es ist insgesamt

$6X^{3}+X+1={\left(3X^{2}+2X-4\right)}{\left(2X-{\frac {4}{3}}\right)}+{\frac {35}{3}}X-{\frac {13}{3}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.

Lösung

Wir setzen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x_{k}\,.$

Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes ${}n$ gilt wegen ${}x_{2n+2}\leq x_{2n+1}$ die Beziehung

${}s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\leq s_{2n}\,,$

d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen

${}s_{0}\geq s_{2n}\geq s_{2n-1}\geq s_{1}\,.$

Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Korollar 7.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) konvergent. Wegen ${}s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ stimmen die Grenzwerte überein.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen ${}x$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(x)$ konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Es sei (1) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R}$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$

ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

sodass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in \mathbb {R}$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als ${}\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}x_{n}\in \mathbb {R}$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Lösung

Wegen ${}f(0)=1$ und ${}f(1)=-1$ muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall ${}[0,1]$ eine Nullstelle von ${}f$ liegen.

Die Intervallmitte ist ${}{\frac {1}{2}}$, dort hat ${}f$ den Wert

${}f{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {1}{2}}\right)}+1={\frac {1-12+8}{8}}=-{\frac {3}{8}}\,.$

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall ${}[0,{\frac {1}{2}}]$ liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist ${}{\frac {1}{4}}$, dort hat ${}f$ den Wert

${}f{\left({\frac {1}{4}}\right)}={\left({\frac {1}{4}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {1}{4}}\right)}+1={\frac {1-48+64}{64}}={\frac {17}{64}}\,.$

Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall ${}[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}]$ liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist ${}{\frac {3}{8}}$, dort hat ${}f$ den Wert

${}f{\left({\frac {3}{8}}\right)}={\left({\frac {3}{8}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {3}{8}}\right)}+1={\frac {27-576+512}{512}}=-{\frac {37}{512}}\,.$

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall ${}[{\frac {1}{4}},{\frac {3}{8}}]=[{\frac {2}{8}},{\frac {3}{8}}]$ liegen. Die Länge dieses Intervalls ist ${}{\frac {1}{8}}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y={\frac {1}{7}}\,$

gegebenen Geraden.

Lösung

Der Einheitskreis ist durch

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Darin setzen wir

${}y={\frac {1}{7}}\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+{\frac {1}{49}}=1\,.$

Also ist

${}x^{2}={\frac {48}{49}}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&=\pm {\frac {\sqrt {48}}{7}}\\&=\pm {\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also ${}\left({\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}},\,{\frac {1}{7}}\right)$ und ${}\left(-{\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}},\,{\frac {1}{7}}\right)$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z),$

ein Polynom vom Grad ${}d\geq 2$, ${}w\in \mathbb {R}$ ein Punkt und ${}t(z)$ die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}w$. Zeige die Beziehung

${}f(z)-t(z)=(z-w)^{2}g(z)\,$

mit einem Polynom ${}g(z)$ vom Grad ${}d-2$.

Lösung

Es ist

${}t(z)=f'(w)z+f(w)-f'(w)w=f'(w)(z-w)+f(w)\,.$

Wir schreiben

${}f(z)=a_{d}z^{d}+a_{d-1}z^{d-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=\sum _{i=0}^{d}a_{i}z^{i}\,$

mit ${}a_{d}\neq 0$. Somit ist

${}f'(z)=da_{d}z^{d-1}+(d-1)a_{d-1}z^{d-2}+\cdots +a_{1}=\sum _{i=1}^{d}ia_{i}z^{i-1}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}f(z)-t(z)&=f(z)-f(w)-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=0}^{d}a_{i}z^{i}-\sum _{i=0}^{d}a_{i}w^{i}-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=0}^{d}a_{i}(z^{i}-w^{i})-f'(w)(z-w)\\&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}(z-w){\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)(z-w)\\&=(z-w){\left(\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)\right)}.\end{aligned}}$

Für den rechten Faktor gilt

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-f'(w)&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}\right)}-\sum _{i=1}^{d}ia_{i}w^{i-1}\\&=\sum _{i=1}^{d}a_{i}{\left(\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}-iw^{i-1}\right)}.\end{aligned}}$

Die einzelnen Summanden (ohne die Koeffizienten ${}a_{i}$) haben die Form

${}{\begin{aligned}\sum _{j=0}^{i-1}z^{j}w^{i-1-j}-iw^{i-1}&=\sum _{j=0}^{i-1}{\left(z^{j}w^{i-1-j}-w^{i-1}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}{\left(z^{j}w^{i-1-j}-w^{i-1}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}w^{i-1-j}{\left(z^{j}-w^{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{i-1}w^{i-1-j}(z-w){\left(\sum _{k=0}^{j-1}w^{k}z^{j-1-k}\right)}.\end{aligned}}$

Hier kann man also nochmal einen Faktor ${}z-w$ ausklammern.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine ${}n$-fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die ${}n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass ${}f$ maximal ${}n$ Nullstellen besitzt.

Lösung

Wir zeigen die Aussage durch Induktion über ${}n$. Bei ${}n=0$ bedeutet die Voraussetzung einfach, dass ${}f$ selbst überall positiv ist und damit keine Nullstelle besitzen kann.

Es sei die Aussage nun für ${}n$ bewiesen und sei ${}f$ eine ${}(n+1)$-fach stetig differenzierbare Funktion, deren ${}(n+1)$-te Ableitung überall positiv ist. Das bedeutet für die erste Ableitung ${}f'$, dass deren ${}n$-te Ableitung immer positiv ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt daher ${}f'$ höchstens ${}n$ Nullstellen. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist dann ${}f'$ nach dem Zwischenwertsatz immer positiv oder immer negativ und das gilt auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle. Es gibt also höchstens ${}n+1$ Intervalle, auf denen ${}f'$ im Innern positiv oder negativ ist. Dies bedeutet wieder für ${}f$, dass es höchstens ${}n+1$ Intervalle gibt, auf denen ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist. Auf einem solchen Intervall kann ${}f$ höchstens eine Nullstelle besitzen, sodass ${}f$ höchstens ${}n+1$ Nullstellen besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme ein ${}z\in {\mathbb {C} }$ mit

${}\exp z=-13\pi \,.$

Lösung

Wir behaupten, dass

${}z=\ln \left(13\pi \right)+\pi {\mathrm {i} }\,$

ein Urbild ist. Dies ergibt sich unter Verwendung der Funktionalgleichung und der eulerschen Formel durch

${}{\begin{aligned}\exp z&=\exp \left(\ln \left(13\pi \right)+\pi {\mathrm {i} }\right)\\&=\exp \left(\ln \left(13\pi \right)\right)\cdot \exp \left(\pi {\mathrm {i} }\right)\\&=13\pi \cdot {\left(\cos \pi +{\mathrm {i} }\sin \pi \right)}\\&=13\pi \cdot (-1)\\&=-13\pi .\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann ${}F$ differenzierbar ist und dass ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Lösung

Es sei ${}x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$

Wir müssen zeigen, dass für ${}h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich ${}f(x)$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ${}h$ ein ${}c_{h}\in [x,x+h]$ mit

${}f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,$

und damit ist

${}f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.$

Für ${}h\rightarrow 0$ konvergiert ${}c_{h}$ gegen ${}x$ und wegen der Stetigkeit von ${}f$ konvergiert ${}f(c_{h})$ gegen ${}f(x)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x\cdot \cos x.$

Lösung

Wir verwenden partielle Integration, und zwar leiten wir ${}x$ ab und ziehen für ${}\cos x$ die Stammfunktion ${}\sin x$ heran. Somit ist

${}\int x\cos x=x\sin x-\int \sin x\,$

und daher ist

$x\sin x+\cos x$

eine Stammfunktion.

Aufgabe (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{2}-3t+4{\text{ mit }}y(-1)=-5.$

Lösung

Die Stammfunktionen zu ${}f(t)=3t^{2}-3t+4$ sind

${}F(t)=t^{3}-{\frac {3}{2}}t^{2}+4t+c\,.$

Die Bedingung

${}F(-1)=-5\,$

führt auf

${}-1-{\frac {3}{2}}-4+c=-5\,,$

also

${}c={\frac {3}{2}}\,.$