Lösung
- Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
- Zu jeder
streng wachsenden
Abbildung
, ,
heißt die Folge
-
eine Teilfolge der Folge.
- Man sagt, dass in das Maximum annimmt, wenn
-
- Die Potenzreihe in ist die
Reihe
-
- Eine
Treppenfunktion
-
heißt eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.
- Eine
Differentialgleichung
der Form
-
mit einer
Funktion
( reelles Intervall)
-
heißt homogene lineare Differentialgleichung.
Lösung
- Für und ist
-
- Es seien zwei Polynome mit . Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit
-
- Es seien
-
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
-
Lösung
Lösung
Die Formel für lautet
-
Daher ist
-
Somit ist
-
Schließlich ist
-
Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.
Lösung
Es sei zunächst die Folge konvergent mit Grenzwert . Dann ist die Folge nach
Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
beschränkt. Der Grenzwert ist insbesondere ein Häufungspunkt. Nehmen wir an, es würde noch einen weiteren Häufungspunkt geben. Für liegen dann aber alle bis auf endlich viele Folgenglieder innerhalb der -Umgebung
(also )
von , und daher kann es innerhalb der -Umgebung von nur endlich viele Glieder geben.
Es sei nun die Folge beschränkt mit dem einzigen Häufungspunkt . Wir behaupten, dass die Folge gegen konvergiert und nehmen an, dass sie nicht gegen konvergiert. Dann gibt es ein derart, dass es außerhalb der -Umgebung von unendlich viele Folgenglieder gibt. Dies bedeutet, dass es eine Teilfolge gibt, die ganz außerhalb von verläuft. Mit der Folge ist auch diese Teilfolge beschränkt. Daher gibt es
nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß
(eine konvergente Teilfolge und)
einen Häufungspunkt der Folge , der auch ein Häufungspunkt von ist. Dabei ist , da es in der -Umgebung von überhaupt keine Folgenglieder der Teilfolge gibt.
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
Lösung
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle
positive
reelle Zahlen
sind. Es ist
-
Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
geometrischen Reihe.
Es seien die beiden Polynome
-
gegeben.
a) Berechne
(es soll also in eingesetzt werden).
b) Berechne die Ableitung von direkt und mit Hilfe der Kettenregel.
Lösung
a) Es ist
b) Die Ableitung von ist
-
Es ist und
-
Nach der Kettenregel ist daher
Es sei und seien
-
stetige Funktionen mit
-
Zeige, dass es ein derart gibt, dass
-
für alle gilt.
Lösung
Sei
-
Da
und
stetig sind, gibt es zu
-
positive Zahlen
bzw.
derart, dass aus die Abschätzung und aus die Abschätzung folgt. Mit
-
gilt somit für jedes die Abschätzung
-
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?
Lösung
Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion
-
in einem Punkt .
Lösung
Wenn
differenzierbar
ist, so setzen wir . Für die Funktion muss notwendigerweise
-
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
-
und hat den Wert . Dies bedeutet, dass in stetig ist.
Wenn umgekehrt
und
mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für die Beziehung
-
Da stetig in ist, muss auch der Limes links für existieren.
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
-
b)
-
c)
-
Lösung
a) Es ist nach
[[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (3)]].
Daher ist
-
da Kosinus eine gerade Funktion ist. Aus
-
ergibt sich
-
Da ist, ist
-
b) Nach den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus ist
Für ist also
-
Wegen
-
ist somit
-
woraus sich
-
ergibt. Da positiv ist, folgt
-
c) Aus
-
folgt
-
woraus sich wegen der Positivität von schließlich
-
ergibt.
Bestimme für die Funktion
-
die Extrema.
Lösung
Wir schreiben
Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
-
Die Bedingung
führt durch Multiplikation mit auf
-
Daher muss
-
sein, woraus sich
-
also
-
ergibt. Die zweite Ableitung ist
und somit positiv, also liegt im angegebenen Punkt ein isoliertes lokales Minimum vor.
Berechne das bestimmte Integral
-
Lösung
Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution
-
mit der Umkehrfunktion
-
und
-
Somit ist
Beweise, dass eine stetige Funktion
-
Riemann-integrierbar
ist.
Lösung
Die stetige Funktion ist auf dem kompakten Intervall
beschränkt
nach
Korollar 13.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Daher gibt es
obere
und
untere Treppenfunktionen
und daher existieren
Oberintegral
und
Unterintegral.
Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen eine untere und eine obere Treppenfunktion für anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale ist. Nach
Lemma 14.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
gleichmäßig stetig.
Daher gibt es zu ein derart, dass für alle
mit
die Abschätzung gilt. Es sei nun so, dass ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten . Auf den Teilintervallen
, ,
ist der Abstand zwischen dem
Maximum
-
und dem
Minimum
-
kleiner/gleich . Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also
-
und
-
sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu . Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann
-
Zeige, dass
-
die logistische Differentialgleichung
-
und die Anfangsbedingung
erfüllt.
Lösung
Es ist einerseits
-
und andererseits ebenso
Ferner ist
-