Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 21/kontrolle
- Übungsaufgaben
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
b)
c)
Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion
induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion
induziert.
Aufgrund von
Korollar 21.4
ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.
Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.
Wir betrachten die durch
definierte Funktion
Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
gegen konvergiert.
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- ,
- .
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- .
Bestimme den Grenzwert der Folge
Zeige, dass die Folge
nicht konvergiert.
Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch
definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Untersuche die Funktionenfolge
auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar? Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also ?
Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form
Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.
Es sei eine komplexe auf konvergente Potenzreihe und . Für jede -te komplexe Einheitswurzel gelte für alle . Zeige, dass für alle gilt, die kein Vielfaches von sind.
Es sei und sei eine -te komplexe Einheitswurzel. Es sei
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.
Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für gerade und ungerade Funktionen?
Es sei
eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Es gibt eine stetige Funktion
mit für alle .
- Für alle -ten Einheitswurzeln (alle ) ist für alle .
- Für alle mit ist für alle .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Funktion
unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion
die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert ist.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keine stetige Funktion
gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert ist.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als
mit und schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.
- Die Folge konvergiert gegen .
- Die beiden Folgen und konvergieren (in ).
- Die Folge konvergiert und die Folge besitzt die Punkte und als einzige Häufungspunkte.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .
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