Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 32

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ und betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{x}e^{-t}.$

Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.

Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}k\in \mathbb {N}$ die Beziehung

$\operatorname {Fak} \,{\left({\frac {2k-1}{2}}\right)}={\frac {\prod _{i=1}^{k}(2i-1)}{2^{k}}}\cdot {\sqrt {\pi }}$

gilt.

Aufgabe *

a) Zeige, dass für ${}x\geq 1$ die Abschätzung

${}\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq 1\,$

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion ${}H(x)$ mit

$H(x)=\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

für ${}x\geq 1$ monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass ${}10!\geq e^{11}+1$ gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}x\geq 10$ die Abschätzung

$\operatorname {Fak} \,(x)\geq e^{x}$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${}U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren ${}v,w\in V$, die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1})$ und ${}(V_{2},\left\langle -,-\right\rangle _{2})$ zwei euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch

$\left\langle (v_{1},v_{2}),(w_{1},w_{2})\right\rangle :=\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}+\left\langle v_{2},w_{2}\right\rangle _{2}$

ein Skalarprodukt auf dem Produktraum ${}V_{1}\times V_{2}$ definiert wird.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass in der Abschätzung

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn ${}v$ und ${}w$ linear abhängig sind.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ${}u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   $d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w).$

Ein Skalarprodukt ermöglicht es, von Orthonormalbasen zu sprechen.

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für }}{\text{alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Generell heißen zwei Vektoren ${}v,w\in V$ orthogonal, wenn ${}\left\langle v,w\right\rangle =0$ ist.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 3x+y+7z,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für ${}U$.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ genau dann eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

eine Isometrie zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und ${}V$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung

${}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{1}(-\ln t)^{x}\,dt\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Die Stadt ${}S=(0,0)$ soll mit den beiden Städten ${}T=(a,b)$ und ${}U=(a,-b)$ mit ${}a\geq 0,b>0$ durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der ${}x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.

Tipp zur Probe: Stimmt Ihr Ergebnis auch bei ${}a=0$?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}+\Vert {v-w}\Vert ^{2}=2\Vert {v}\Vert ^{2}+2\Vert {w}\Vert ^{2}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Zeige, dass für jeden Vektor ${}v\in V$ die Beziehung

${}v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor ${}v$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist auch ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.
3. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, ist auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, derart, dass auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.