Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 46/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei eine total differenzierbare Abbildung mit für alle . Zeige, dass konstant ist.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen
Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen
und
und ihrer Komposition in folgenden Schritten.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne explizit die Komposition .
- Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
- Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Zeige
Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass und -fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch -fach stetig differenzierbar ist.
Es sei
eine Funktion. Zeige, dass die Funktion
genau dann im Punkt total differenzierbar ist, wenn in stetig ist.
Es seien und euklidische Vektorräume, offen und sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann stetig differenzierbar ist, wenn total differenzierbar ist und wenn die Abbildung
stetig ist.
Es sei
differenzierbar im Nullpunkt und sei eine Folge in mit
Zeige, dass ein Eigenvektor von zum Eigenwert ist.
Es seien und metrische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Es sei
und es sei
eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass
in ein lokales Extremum besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen
und
und ihrer Komposition veranschaulichen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne explizit die Komposition .
- Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
- Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktionen
mit
und
Berechne das totale Differential von in einem beliebigen Punkt auf vier verschiedene Arten.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei
eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art mit einem festen Vektor , wenn
für alle ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung
differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.
Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve
und eine stetige Funktion
für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung
nicht differenzierbar ist.
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