Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Anhang D

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In Analysis II vergessen.




Lemma  

Es sei

eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen mit der Grenzfunktion

Dann gilt die Beziehung

Beweis  

Da die Grenzfunktion nach Lemma 16.4 stetig ist, existiert das bestimmte Integral rechts nach Satz 23.14. Für jedes gibt es ein mit

für alle und alle . Daher gilt für diese die Abschätzung




Satz  

Es sei ein metrischer Raum und ein kompaktes Intervall. Es sei

eine stetige Funktion.

Dann ist auch die Funktion

stetig.

Beweis  

Aufgrund von Satz 34.3 müssen wir für jede konvergente Folge in mit dem Grenzwert zeigen, dass die Folge der Integrale

gegen

konvergiert. Aufgrund von Lemma Anhang C.1 genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert.  Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ein und ein gibt mit . So können wir eine Teilfolge mit zugehörigen Punkten konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in eine konvergente Teilfolge, und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge konvergiert, sagen wir gegen . Wegen der Stetigkeit von und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzungen und gelten. Damit ist

 ein Widerspruch.




Satz  

Es sei eine kompakte Teilmenge und sei

eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum .

Dann ist gleichmäßig stetig.

Beweis  

 Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass für kein die Beziehung für alle erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes ein Paar mit , aber mit . Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Satz 36.9 eine Teilfolge (dabei ist unendlich) von , die gegen ein konvergiert. Die entsprechende Teilfolge konvergiert ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen und gegen . Dies ergibt aber einen Widerspruch, da ist.




Satz  

Es seien und reelle Intervalle,

eine stetige Abbildung, die in Richtung der Variablen stetig partiell differenzierbar sei.

Dann ist die Abbildung

(nach ) differenzierbar und es gilt

Beweis  

Aufgrund der Differenzierbarkeit von nach gibt es zu jedem nach Satz 18.5 eine in stetige Funktion mit und mit

Wir setzen


Wir zeigen zuerst, dass diese Funktion in den zwei Variablen und in jedem Punkt stetig ist. Bei kann man

auflösen und erhält so die Stetigkeit, da ja die partielle Ableitung nach Voraussetzung stetig ist. Bei verwenden wir das Folgenkriterium für die Stetigkeit. Sei also eine Folge, die gegen

konvergiert. Wir können dabei annehmen, dass für alle ist, da ja ist. Es ist

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem ein mit

und somit ist der obige Ausdruck gleich

Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung und wegen wird dies beliebig klein.

In der eingangs formulierten Identität sind also alle Bestandteile stetig. Daher kann man beidseitig über integrieren und erhält ( ist in der Integration konstant)

Der Fehlerausdruck

ist stetig in , da stetig ist und wegen der Stetigkeit des Integrals. Ferner ist , so dass die Funktion linear approximierbar und damit differenzierbar ist.




Satz  

Es sei ein reelles Intervall, eine offene Teilmenge und

eine stetige Abbildung, die in Richtung einer jeden Variablen , , stetig partiell differenzierbar sei.

Dann ist die Abbildung

partiell differenzierbar und es gilt

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt *****.