Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 19/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Funktion
die durch
definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Funktion
Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Aufgabe 19.6 ändern
Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion
vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Führe die Details im Beweis zu Satz 19.7 aus.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.
b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Betrachte die Funktion
Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.
Aufgabe Aufgabe 19.12 ändern
Es sei ein Intervall und es sei
die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung
eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert von
im Punkt , und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert
Aufgabe Referenznummer erstellen
Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Polynomfunktion vom Grad . Es sei die Anzahl der lokalen Maxima von und die Anzahl der lokalen Minima von . Zeige, dass bei ungerade und bei gerade ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form
(mit , ), keine lokalen Extrema besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
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