Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 21/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

$D⟶ℂ,z⟼\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}.$

Was ist die Definitionsmenge $D$ des Tangens?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

b)

$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}.$

c)

$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Aufgabe * Aufgabe 21.3 ändern

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]⟶[-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]⟶[-1,1]$

induziert.

Aufgrund von Korollar 21.4 ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

$[-1,1]⟶[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],x⟼\arcsin x,$

und heißt Arkussinus.

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

$[-1,1]⟶[0,\pi ],x⟼\arccos x,$

und heißt Arkuskosinus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

$f(x)=\{\begin{array}{c}x\sin \frac{1}{x}\text{ für }x\in ]0,1],\\ 0\text{ für }x=0,\end{array}$

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die durch

$f(x)=\{\begin{array}{c}x\cdot \sin \frac{1}{x}\text{ für }x\ne 0,\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

definierte Funktion

$f:ℝ⟶ℝ.$

Zeige, dass es zu jedem $\lambda$, $-1\le \lambda \le 1$, eine Nullfolge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in ${ℝ}_{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

$\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n}$

gegen $\lambda$ konvergiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der Folge

$\frac{\sin n}{n},n\in {\mathbb{N}}_{+}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Folge

$x_n:=\sin n$

nicht konvergiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zu einem Startwert  $x_0\in [0,\frac{\pi }{2}]$  sei eine Folge rekursiv durch

$x_{n+1}:=\sin x_n$

definiert. Entscheide, ob ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktionenfolge

$f_n:ℝ⟶ℝ,x⟼(\sin x{)}^n,$

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar? Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also  $g_n(x)={f_n}^{\prime }(x)$? 

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Es sei $F$ eine komplexe, auf $ℂ$ konvergente Potenzreihe der Form

$F=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jn}{z}^{jn}.$

Zeige, dass für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel $\zeta$ die Gleichheit  $F(\zeta z)=F(z)$  für alle  $z\in ℂ$  gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $F=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_i{z}^i$ eine komplexe auf $ℂ$ konvergente Potenzreihe und $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel $\zeta$ gelte $F(\zeta z)=F(z)$ für alle $z\in ℂ$. Zeige, dass $c_i=0$ für alle $i$ gilt, die kein Vielfaches von $n$ sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ und sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei

$f:ℂ⟶ℂ,z⟼f(z),$

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit $f(\zeta z)=f(z)$ für alle $z\in ℂ$ gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung $f^{\prime }(\zeta z)={\zeta }^{n-1}{f}^{\prime }(z)$ erfüllt.

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für gerade und ungerade Funktionen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f:ℂ⟶ℂ$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   $g:{ℝ}_{\ge 0}⟶ℂ$

   mit  $f(z)=g(|z|)$  für alle  $z\in ℂ$. 

2. Für alle $n$-ten Einheitswurzeln  $\zeta \in ℂ$  (alle $n\in \mathbb{N}$) ist  $f(\zeta z)=f(z)$  für alle  $z\in ℂ$. 
3. Für alle  $w\in ℂ$  mit  $|w|=1$  ist  $f(wz)=f(z)$  für alle  $z\in ℂ$. 

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Intervalle, auf denen die reelle Sinusfunktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼\sin x,$

konvex bzw. konkav ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

$f(x)=\{\begin{array}{c}x\sin \frac{1}{x}\text{ für }x\in ]0,1],\\ 0\text{ für }x=0,\end{array}$

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

$f:[0,1]⟶ℝ,x⟼f(x),$

die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert $\ge 1$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keine stetige Funktion

$f:[0,1]⟶ℝ,x⟼f(x),$

gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert $\ge 1$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $z_n\in ℂ$ eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als

$z_n=r_n{e}^{\mathrm{i}{\phi }_n}$

mit $r_n\in {ℝ}_{\ge 0}$ und ${\phi }_n\in [0,2\pi [$ schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.

1. Die Folge $r_n$ konvergiert gegen $0$.
2. Die beiden Folgen $r_n$ und ${\phi }_n$ konvergieren (in $ℝ$).
3. Die Folge $r_n$ konvergiert und die Folge ${\phi }_n$ besitzt die Punkte $0$ und $2\pi$ als einzige Häufungspunkte.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zu  $n\ge 3$  sei $A_n$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige  $A_n\le A_{n+1}$.