Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 21/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

$D\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}.$

Was ist die Definitionsmenge ${}D$ des Tangens?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

${}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$

b)

${}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.$

c)

${}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Aufgabe * Aufgabe 21.3 ändern

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

surjektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

1. Zeige, dass die reelle Sinusfunktion auf ${}[0,\pi ]$ konkav ist.
2. Zeige, dass die reelle Sinusfunktion auf ${}[-\pi ,0]$ konvex ist.
3. Zeige, dass die reelle Sinusfunktion im Nullpunkt einen Wendepunkt besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Zeige, dass für reelles ${}x\geq 0$ die Abschätzung

   ${}1-\cos x\leq x\,$

   gilt.

2. Zeige, dass für reelles ${}x\geq 0$ die Abschätzung

   ${}1-\cos x\leq {\frac {x}{2}}\,$

   nicht gilt.

Aufgabe * Aufgabe 21.6 ändern

1. Zeige, dass für reelles ${}x\geq 0$ die Abschätzung

   ${}1-\cos x\leq {\frac {x^{2}}{2}}\,$

   gilt.

2. Zeige, dass für reelles ${}x$ die Abschätzung

   ${}\vert {1-e^{{\mathrm {i} }x}}\vert \leq \vert {x}\vert \,$

   gilt.

Aufgrund von Korollar 21.4 ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$

und heißt Arkussinus.

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$

und heißt Arkuskosinus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Tangensfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$]-\pi /2,\pi /2[\longrightarrow \mathbb {R}$

und die reelle Kotangensfunktion eine bijektive streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R}$

induziert.

Die Umkehrfunktion der reellen Tangensfunktion ist

$\mathbb {R} \longrightarrow ]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[,\,x\longmapsto \arctan x,$

und heißt Arkustangens.

Die Umkehrfunktion der reellen Kotangensfunktion ist

$\mathbb {R} \longrightarrow ]0,\pi [,\,x\longmapsto \operatorname {arccot} x,$

und heißt Arkuskotangens.

Aufgabe Aufgabe 21.8 ändern

Zeige, dass die inversen trigonometrischen Funktionen die folgenden Ableitungen besitzen.

1. ${}{\left(\arcsin x\right)}'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$

2. ${}{\left(\arccos x\right)}'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$

3. ${}{\left(\arctan x\right)}'={\frac {1}{1+x^{2}}}\,.$

4. ${}{\left(\operatorname {arccot} x\right)}'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\,.$

Aufgabe * Aufgabe 21.9 ändern

Wir betrachten auf ${}\mathbb {R} _{+}$ die Funktion

${}f(x)=\arctan x+\arctan {\left(x^{-1}\right)}\,.$

1. Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass ${}f$ konstant ist.
2. Bestimme den konstanten Wert von ${}f$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die durch

$f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Zeige, dass es zu jedem ${}\lambda ,\,-1\leq \lambda \leq 1$, eine Nullfolge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

${\frac {f(x_{n})-f(0)}{x_{n}}}$

gegen ${}\lambda$ konvergiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Folge

${}x_{n}:=\sin n\,$

nicht konvergiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zu einem Startwert ${}x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ sei eine Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}:=\sin x_{n}\,$

definiert. Entscheide, ob ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n},$

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar? Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also ${}g_{n}(x)=f_{n}'(x)$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei ${}F$ eine komplexe, auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe der Form

${}F=\sum _{j=0}^{\infty }c_{jn}z^{jn}\,.$

Zeige, dass für jede ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ die Gleichheit ${}F(\zeta z)=F(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}F=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i}$ eine komplexe auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Für jede ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ gelte ${}F(\zeta z)=F(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}c_{i}=0$ für alle ${}i$ gilt, die kein Vielfaches von ${}n$ sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung ${}f'(\zeta z)=\zeta ^{n-1}f'(z)$ erfüllt.

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für gerade und ungerade Funktionen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   mit ${}f(z)=g(\vert {z}\vert )$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

2. Für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ (alle $n\in \mathbb {N}$) ist ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Für alle ${}w\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\vert {w}\vert =1$ ist ${}f(wz)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert ${}\geq 1$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keine stetige Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert ${}\geq 1$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}z_{n}\in {\mathbb {C} }$ eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als

$z_{n}=r_{n}e^{{\mathrm {i} }\varphi _{n}}$

mit ${}r_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}\varphi _{n}\in [0,2\pi [$ schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.

1. Die Folge ${}r_{n}$ konvergiert gegen ${}0$.
2. Die beiden Folgen ${}r_{n}$ und ${}\varphi _{n}$ konvergieren (in ${}\mathbb {R}$).
3. Die Folge ${}r_{n}$ konvergiert und die Folge ${}\varphi _{n}$ besitzt die Punkte ${}0$ und ${}2\pi$ als einzige Häufungspunkte.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zu ${}n\geq 3$ sei ${}A_{n}$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen ${}n$-Eckes. Zeige ${}A_{n}\leq A_{n+1}$.