Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 23

In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrationstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen einer Funktion

$f:[a,b]⟶ℝ$

und der $x$-Achse begrenzt wird, systematisch studieren und berechnen. Zugleich ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Auffinden von Stammfunktionen, das sind Funktionen, deren Ableitung $f$ ist. Der Flächeninhalt ist kein unproblematischer Begriff, den wir erst im dritten Semester im Rahmen der Maßtheorie grundlegend behandeln werden. Dennoch handelt es sich um einen intuitiv leicht zugänglichen Begriff, von dem wir hier nur einige wenige naheliegende Grundtatsachen verwenden. Sie dienen hier auch nirgendwo der Argumentation, sondern lediglich der Motivation. Ausgangspunkt ist, dass der Flächeninhalt eines Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen einfach das Produkt der beiden Seitenlängen ist, und dass der Flächeninhalt einer Fläche, die man mit Rechtecken „ausschöpfen“ kann, als der Limes der Summe der beteiligten Rechtecksinhalte erhalten werden kann. Beim Riemannschen Integral, das zumindest für stetige Funktionen eine befriedigende Theorie liefert, beschränkt man sich auf solche Rechtecke, die parallel zum Koordinatensystem liegen, deren Breite (Grundseite auf der $x$-Achse) beliebig variieren darf und deren Höhe in Beziehung zu den Funktionswerten über der Grundseite steht. Dadurch werden die Funktionen durch sogenannte Treppenfunktionen approximiert.

Treppenfunktionen

Eine Treppenfunktion. Im statistischen Kontext spricht man von Histogrammen oder von Säulendiagrammen.

Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen  $a,b\in ℝ$.  Dann heißt eine Funktion

$t:I⟶ℝ$

eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

$a=a_0<a_1<a_2<\cdots <a_{n-1}<a_n=b$

von $I$ derart gibt, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall $]a_{i-1},a_i[$ konstant ist.

Diese Definition stellt also keine Bedingung an den Wert der Funktion an den Unterteilungspunkten. Das Intervall $]a_{i-1},a_i[$ nennt man $i$-tes Teilintervall, und $a_i-a_{i-1}$ heißt Länge dieses Teilintervalls. Wenn die Länge der Teilintervalle konstant ist, so spricht man von einer äquidistanten Unterteilung.

Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen  $a,b\in ℝ$  und sei

$t:I⟶ℝ$

eine Treppenfunktion zur Unterteilung  $a=a_0<a_1<a_2<\cdots <a_{n-1}<a_n=b$  und den Werten $t_i$, $i=1,\dots ,n$. Dann heißt

$T:=\sum _{i=1}^n{t}_i(a_i-a_{i-1})$

das Treppenintegral von $t$ auf $I$.

Das Treppenintegral wird auch mit ${\int }_a^{b}t(x)dx$ bezeichnet. Bei einer äquidistanten Unterteilung mit der Teilintervalllänge $\frac{b-a}{n}$ ist das Treppenintegral gleich $\frac{b-a}{n}\left(\sum _{i=1}^n{t}_i\right)$. Das Treppenintegral ist nicht von der gewählten Unterteilung abhängig, bezüglich der eine Treppenfunktion vorliegt (man kann also die Unterteilung verfeinern).

Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

$t:I⟶ℝ$

eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn  $t(x)\ge f(x)$  für alle  $x\in I$  ist. Eine Treppenfunktion

$s:I⟶ℝ$

heißt eine untere Treppenfunktion zu $f$, wenn  $s(x)\le f(x)$  für alle  $x\in I$  ist.

Eine obere (untere) Treppenfunktion zu $f$ gibt es genau dann, wenn $f$ nach oben (nach unten) beschränkt ist.

Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

$t:I⟶ℝ$

von $f$ zur Unterteilung $a_i$, $i=0,\dots ,n$, und den Werten $t_i$, $i=1,\dots ,n$, heißt das Treppenintegral

$T:=\sum _{i=1}^n{t}_i(a_i-a_{i-1})$

ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von $f$ auf $I$.

Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

$s:I⟶ℝ$

von $f$ zur Unterteilung $a_i$, $i=0,\dots ,n$, und den Werten $s_i$, $i=1,\dots ,n$, heißt

$S:=\sum _{i=1}^n{s}_i(a_i-a_{i-1})$

ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von $f$ auf $I$.

Verschiedene obere (untere) Treppenfunktionen liefern natürlich verschiedene obere (und untere) Treppenintegrale.

Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von $f$ das Oberintegral von $f$.

Definition

Es sei $I$ ein beschränktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von $f$ das Unterintegral von $f$.

Die Beschränkung nach unten stellt sicher, dass es überhaupt eine untere Treppenfunktion gibt und damit die Menge der unteren Treppenintegrale nicht leer ist. Unter dieser Bedingung allein muss nicht unbedingt die Menge der unteren Treppenintegrale ein Supremum besitzen. Für (beidseitig) beschränkte Funktionen existiert hingegen stets das Ober- und das Unterintegral. Bei einer gegebenen Unterteilung gibt es eine kleinste obere (größte untere) Treppenfunktion, die durch die Suprema (Infima) der Funktion auf den Teilintervallen festgelegt ist. Bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind das Maxima bzw. Minima. Für das Integral muss man aber Treppenfunktionen zu sämtlichen Unterteilungen berücksichtigen.

Riemann-integrierbare Funktionen

Eine untere und eine obere Treppenfunktion. Der grüne Flächeninhalt ist eine Untersumme und der gelbe Flächeninhalt (teilweise verdeckt) ist eine Obersumme.

Definition

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Dann heißt $f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von $f$ existieren und übereinstimmen.

Historisch korrekter ist es, von Darboux-integrierbar zu sprechen.

Definition

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f:I=[a,b]⟶ℝ,t⟼f(t),$

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von $f$ über $I$. Es wird mit

${\int }_a^{b}f(t)dt\text{ oder mit }{\int }_I^{}f(t)dt$

bezeichnet.

Das Berechnen von solchen Integralen nennt man integrieren. Man sollte sich keine allzu großen Gedanken über das Symbol $dt$ machen. Darin wird ausgedrückt, bezüglich welcher Variablen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dabei aber nicht auf den Namen der Variablen an, d.h. es ist

${\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(x)dx.$

Lemma

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Es gebe eine Folge von unteren Treppenfunktionen ${\left(s_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $s_n\le f$ und eine Folge von oberen Treppenfunktionen ${\left(t_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $t_n\ge f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihr Grenzwert übereinstimmt.

Dann ist $f$ Riemann-integrierbar, und das bestimmte Integral ist gleich diesem Grenzwert, also

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{s}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{t}_n(x)dx$

Beweis

Siehe Aufgabe 23.16.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f:[0,1]⟶ℝ,t⟼t^2,$

die bekanntlich in diesem Intervall streng wachsend ist. Für ein Teilintervall  $[a,b]\subseteq [0,1]$  ist daher $f(a)$ das Minimum und $f(b)$ das Maximum der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall $[0,1]$ in die $n$ gleichlangen Teilintervalle

$[i\frac{1}{n},(i+1)\frac{1}{n}],i=0,\dots ,n-1,$

der Länge $\frac{1}{n}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen ist

$\sum _{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}{\left(i\frac{1}{n}\right)}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{i=0}^{n-1}{i}^2=\frac{1}{n^3}(\frac{1}{3}{n}^3-\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}$

(siehe Aufgabe 1.16 für die Formel für die Summe der Quadrate). Da die beiden Folgen ${(1/2n)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${(1/6n^2)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $0$ konvergieren, ist der Limes für $n\to \mathrm{\infty }$ von diesen Treppenintegralen gleich $\frac{1}{3}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen oberen Treppenfunktion ist

$\sum _{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}{((i+1)\frac{1}{n})}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{i=0}^{n-1}(i+1{)}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{j=1}^n{j}^2=\frac{1}{n^3}(\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}.$

Der Limes davon ist wieder $\frac{1}{3}$. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach Lemma 23.10 überhaupt das Ober- und das Unterintegral übereinstimmen, sodass die Funktion Riemann-integrierbar ist und das bestimmte Integral

${\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{1}{3}$

ist.

Lemma

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Funktion $f$ ist Riemann-integrierbar.
2. Es gibt eine Unterteilung  $a=a_0<a_1<\cdots <a_n=b$  derart, dass die einzelnen Einschränkungen  $f_i:=f{|}_{[a_{i-1},a_i]}$  Riemann-integrierbar sind.
3. Für jede Unterteilung  $a=a_0<a_1<\cdots <a_n=b$  sind die Einschränkungen  $f_i:=f{|}_{[a_{i-1},a_i]}$  Riemann-integrierbar.

In dieser Situation gilt

${\int }_a^{b}f(t)dt=\sum _{i=1}^n{\int }_{a_{i-1}}^{a_i}{f}_i(t)dt.$

Beweis

Siehe Aufgabe 23.20.

$◻$

Definition

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Dann heißt $f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von $f$ auf jedes kompakte Intervall  $[a,b]\subseteq I$  Riemann-integrierbar ist.

Aufgrund des obigen Lemmas stimmen für ein kompaktes Intervall $[a,b]$ die beiden Definitionen überein. Die Integrierbarkeit einer Funktion $f:ℝ\to ℝ$ bedeutet nicht, dass ${\int }_{ℝ}f(x)dx$ eine Bedeutung hat bzw. existieren muss.

Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Satz

Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine stetige Funktion.

Dann ist $f$ Riemann-integrierbar.

Beweis

Wir können annehmen, dass das Intervall kompakt ist, sagen wir  $I=[a,b]$.  Die stetige Funktion $f$ ist auf diesem kompakten Intervall beschränkt nach Korollar 13.11. Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen.  Dazu genügt es, zu einem gegebenen  $ϵ>0$  eine untere und eine obere Treppenfunktion für $f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale $\le ϵ$ ist. Nach Lemma 14.2 ist $f$ gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu  ${ϵ}^{\prime }=\frac{ϵ}{b-a}$  ein  $\delta >0$  derart, dass für alle $x,x^{\prime }\in I$ mit $d(x,x^{\prime })\le \delta$ die Abschätzung  $d(f(x),f(x^{\prime }))\le {ϵ}^{\prime }$  gilt. Es sei nun  $n\in \mathbb{N}$  so, dass  $\frac{b-a}{n}\le \delta$  ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten  $a_i=a+i\frac{b-a}{n}$.  Auf den Teilintervallen $[a_{i-1},a_i]$, $i=1,\dots ,n$, ist der Abstand zwischen dem Maximum

$t_i=max(f(x),a_{i-1}\le x\le a_i)$

und dem Minimum

$s_i=min(f(x),a_{i-1}\le x\le a_i)$

kleiner/gleich ${ϵ}^{\prime }$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also

$t(x):=\{\begin{array}{c}{t}_i\text{ für }x\in [a_{i-1},a_i[\text{ und }1\le i\le n-1,\\ t_n\text{ für }x\in [a_{n-1},a_n],\end{array}$

und

$s(x):=\{\begin{array}{c}{s}_i\text{ für }x\in [a_{i-1},a_i[\text{ und }1\le i\le n-1,\\ s_n\text{ für }x\in [a_{n-1},a_n],\end{array}$

sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu $f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann

$\sum _{i=1}^n{t}_i\frac{b-a}{n}-\sum _{i=1}^n{s}_i\frac{b-a}{n}=\sum _{i=1}^n(t_i-s_i)\frac{b-a}{n}\le \sum _{i=1}^n{ϵ}^{\prime }\frac{b-a}{n}=\sum _{i=1}^n\frac{ϵ}{n}=ϵ.$

$◻$

Diese Aussage gilt auch für stückweise stetige Funktionen.

Wenn man Aussagen beweist, bei denen auf Unterteilungen eines Intervalls Bezug genommen wird, so ist es häufig sinnvoll, feinere Unterteilungen einzuführen. Insbesondere ersetzt man häufig zwei verschiedene Unterteilungen durch eine gemeinsame Verfeinerung.

Lemma

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien $f,g:I\to ℝ$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Ist  $m\le f(x)\le M$  für alle  $x\in I$,  so ist  $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(t)dt\le M(b-a)$. 
2. Ist  $f(x)\le g(x)$  für alle  $x\in I$,  so ist  ${\int }_a^{b}f(t)dt\le {\int }_a^{b}g(t)dt$. 
3. Die Summe $f+g$ ist Riemann-integrierbar und es ist  ${\int }_a^b(f+g)(t)dt={\int }_a^{b}f(t)dt+{\int }_a^{b}g(t)dt$. 
4. Für  $c\in ℝ$  ist  ${\int }_a^b(cf)(t)dt=c{\int }_a^{b}f(t)dt$. 
5. Die Funktionen $max(f,g)$ und $min(f,g)$ sind Riemann-integrierbar.
6. Die Funktion $|f|$ ist Riemann-integrierbar.
7. Das Produkt $fg$ ist Riemann-integrierbar.

Beweis

Für (1) bis (4) siehe Aufgabe 23.21. (5). Wir betrachten die Aussage für das Maximum. Wir müssen zeigen, dass es zu jedem  $ϵ>0$  eine obere und eine untere Treppenfunktion derart gibt, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale $\le ϵ$ ist. Es sei also ein  $ϵ>0$  vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es Treppenfunktionen

$s_1\text{ und }{t}_1\text{ mit }{s}_1\le f\le t_1\text{ und mit }{\int }_a^b(t_1-s_1)(x)dx\le ϵ/2$

und

$s_2\text{ und }{t}_2\text{ mit }{s}_2\le g\le t_2\text{ und mit }{\int }_a^b(t_2-s_2)(x)dx\le ϵ/2.$

Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei ${\ell }_k$, $k=1,\dots ,n$ die Länge des $k$-ten Teilintervalls $I_k$ und es sei

${\delta }_k:=(t_1-s_1){|}_{I_k}+(t_2-s_2){|}_{I_k}.$

Dann gilt

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n{\ell }_k{\delta }_k& =\sum _{k=1}^n{\ell }_k((t_1-s_1){|}_{I_k}+(t_2-s_2){|}_{I_k})\\ & =\sum _{k=1}^n{\ell }_k(t_1-s_1){|}_{I_k}+\sum _{k=1}^n{\ell }_k(t_2-s_2){|}_{I_k}\\ & \le \frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ.\end{array}$

Wir setzen

$s:=max(s_1,s_2)\text{ und }t:=max(t_1,t_2).$

Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für $max(f,g)$. Wir betrachten ein Teilintervall $I_k$ der gegebenen Unterteilung. Wenn dort

$s_1\le s_2\text{ und }{t}_1\le t_2$

gilt, so ist dort

$t-s=t_2-s_2\le {\delta }_k.$

Wenn dort

$s_1\le s_2\text{ und }{t}_2\le t_1$

gilt, so ist dort ebenfalls

$t-s=t_1-s_2\le t_1-s_1\le {\delta }_k.$

 Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.

Damit ist die Differenz der Treppenintegrale $\le \sum _{k=1}^n{\ell }_k{\delta }_k\le ϵ$.
(6) folgt direkt aus (5). Für (7) siehe Aufgabe 23.29.

$◻$

Lemma

Es sei

$f_n:[a,b]⟶ℝ$

eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen mit der Grenzfunktion

$f:[a,b]⟶ℝ.$

Dann gilt die Beziehung

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n(t)dt={\int }_a^{b}f(t)dt.$

Beweis

Da die Grenzfunktion nach Lemma 16.4 stetig ist, existiert das bestimmte Integral rechts nach Satz 23.14. Für jedes  $ϵ>0$  gibt es ein $n_0$ mit

$|f_n(t)-f(t)|\le \frac{ϵ}{b-a}$

für alle  $n\ge n_0$  und alle  $t\in [a,b]$.  Daher gilt für diese $n$ die Abschätzung unter Verwendung von Lemma 23.15  (3) und Lemma 23.15  (6)

$\begin{array}{cc}|{\int }_a^b{f}_n(t)dt-{\int }_a^{b}f(t)dt|& =|{\int }_a^b{f}_n(t)-f(t)dt|\\ & \le {\int }_a^b|f_n(t)-f(t)|dt\\ & \le {\int }_a^b\frac{ϵ}{b-a}dt\\ & =ϵ.\end{array}$

$◻$

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