Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 45

Übungsaufgaben

Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.

Aufgabe

Ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

im Punkt ${}-3$ total differenzierbar? Was ist das totale Differential in diesem Punkt?

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}.$

1. Man schreibe ${}(x+v)^{2}(y+w)^{3}$ als

   ${}(x+v)^{2}(y+w)^{3}=x^{2}y^{3}+av+bw+cv^{2}+dvw+ew^{2}\,$

   mit geeigneten Termen ${}a,b,c,d,e$, wobei ${}a$ und ${}b$ nicht von ${}v$ und ${}w$ abhängen dürfen.

2. Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass ${}x^{2}y^{3}$ in einem beliebigen Punkt ${}(x,y)$ total differenzierbar ist.

Aufgabe

Berechne für die Addition

$+\colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und für die Multiplikation

$\cdot \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

das totale Differential.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\min {\left(x,y\right)}}.$

1. Skizziere die Funktion.
2. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.
3. Bestimme für jeden Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und jede Richung ${}v\in \mathbb {R} ^{2}$, ob die Richtungsableitung in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
4. Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion ${}f$ total differenzierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ konstant mit ${}\varphi (v)=w\in W$ für alle ${}v\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential ${}0$.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ im Punkt ${}P\in G$ differenzierbar mit dem Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$. Zeige, dass für alle ${}a\in {\mathbb {K} }$ die Beziehung

${}\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Kommentar:

Da wir es hier mit einer polynomialen Funktion zu tun haben, hat ${}f$ die Form

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,,$

wobei nur endlich viele der ${}\nu$ ungleich Null sind. Nach Satz . sind diese total differenzierbar und nach Bemerkung . stimmt das totale Differential mit der Jacobi-Matrix überein.

Wir betrachten ein einfaches Beispiel in zwei Variablen. Sei ${}f(x,y)=xy+x+y+1$. Die Jacobi-Matrix ist dann durch ${}(y+1,x+1)$ gegeben und ist insbesondere im Punkt ${}(0,0)$ gleich ${}(1,1)$. Wegen der Definition der Differenzierbarkeit lässt sich ${}f(v)$, mit ${}v=(v_{1},v_{2})$ aus einer Umgebung von ${}(0,0)$, schreiben als

$f(v_{1},v_{2})=f(0,0)+(1,1)\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+\lVert v\rVert r(v).$

Nach einsetzen aller bekannten Größen, erhalten wir

$v_{1}v_{2}+v_{1}+v_{2}+1=1+v_{1}+v_{2}+\lVert v\rVert r(v).$

Falls ${}v\neq 0$ ist liefert Auflösen nach ${}r$

$r(v)={\frac {v_{1}v_{2}}{\lVert v\rVert }}.$

Dass diese Funktion in ${}0$ stetig fortgesetzt werden kann und dort auch gleich Null ist, folgt direkt aus der obigen Gleichung, da ${}f$ total differenzierbar und in Null stetig ist. Wir sehen also, dass die Funktion ${}r$ die Terme des Polynoms mit Grad größer als ${}1$ beinhaltet und zusätzlich durch ${}\lVert v\rVert$ dividiert wird. Der affin lineare Teil des Polynoms (Terme vom Grad kleiner oder gleich ${}1$) werden durch die ersten beiden Summanden der linearen Approximation abgedeckt.

Für ein allgemeines Polynom folgt das Ganze auf gleicher Art und Weise.

 

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass ${}f$ in jedem Punkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Aufgabe

Es seien ${}V$, ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume.

1. Es seien ${}L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ ${}{\mathbb {K} }$- lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),$

   ${}{\mathbb {K} }$-linear ist.

2. Es seien ${}f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ im Punkt ${}P\in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),$

   im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential

   ${}\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.$

Die folgende Aufgabe verwendet das Konzept Äquivalenzrelation.

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation ${}R\subseteq M\times M$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).

1. Es ist ${}x\sim x$ (reflexiv).
2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$ (symmetrisch).
3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$ (transitiv).

Dabei bedeutet ${}x\sim y$, dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow W$ Abbildungen und ${}P\in G$. Wir nennen ${}f,g$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {(f-g)(P+v)}{\Vert {v}\Vert }}$

existiert und gleich ${}0$ ist.

1. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von ${}G$ nach ${}W$ gegeben ist.
2. Es sei ${}f$ total differenzierbar. Zeige, dass ${}f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
3. Es seien ${}f$ und ${}g$ tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall ${}f$ genau dann in ${}P$ total differenzierbar ist, wenn dies für ${}g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt ${}P$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

$\varphi \colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

in jedem Punkt ${}P=(s,v)$ total differenzierbar ist mit

${}\left(D\varphi \right)_{P}(t,w)=tv+sw\,.$

Kommentar:

Wir können in ${}V$ eine Basis festlegen und in dem zugehörigen Koordinatenraum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt arbeiten. Wir betrachten also die Skalarmultiplikation in der Form

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n+1}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(s,v_{1},\dotsc ,v_{n})\longmapsto (sv_{1},\dotsc ,sv_{n}).$

Wir zeigen die Differenzierbarkeit über die Definition. Damit es einfacher aufzuschreiben ist, fassen wir wieder die 2. bis letzte Koordinate in einem Vektor zusammen. Für die Differenzierbarkeit im Punkt ${}P=(s,v)$ müssen wir die lineare Approximierbarkeit zeigen. Das heißt wir müssen zeigen, dass für ${}(t,w)$ aus einer kleinen Umgebung von ${}P$ eine lineare Abbildung ${}(D\varphi )_{P}(t,w)$ und eine in Null stetige Abbildung ${}r(t,v)$ mit ${}r(0)=0$ existieren, sodass

$\varphi (s+t,v+w)=\varphi (s,v)+(D\varphi )_{P}(t,w)+\lVert (t,w)\rVert r(t,w)$

gilt. Dazu schauen wir uns einfach einmal ${}\varphi (s+t,v+w)$ genauer an. Wir erhalten nach Einsetzen der Funktionsvorschrift

$\varphi (P+(t,w))=\varphi (s+t,v+w)=(s+t)(v+w)=sv+sw+tv+tw,$

dabei werden rechts skalarmultiplizierte Vektoren aufaddiert. Jetzt sammeln wir die entsprechenden Ausdrücke. Der erste Summand kann direkt als Funktionswert in ${}P$ identifiziert werden, also ${}sv=\varphi (P)$. Des Weiteren ist schon in der Aufgabenstellung suggeriert, dass ${}(D\varphi )_{P}(t,w)=sw+tv$ sein wird. Es muss noch gezeigt werden, dass dies eine lineare Funktion ist. Die Funktion ${}r$ müssen wir dann in dem Term ${}tw$ finden. Da ${}\lVert (t,w)\rVert$ noch ins Spiel kommen muss, erweitern wir mit dieser Norm und erhalten ${}r(t,w)={\frac {tw}{\lVert (t,w)\rVert }}$, falls ${}(t,w)\neq 0$ ist. Nun ist zu zeigen, dass dieses ${}r$ gegen Null geht für ${}(t,w)$ gegen Null, denn dann kann es dort mit Null stetig fortgesetzt werden und hat die gewünschten Eigenschaften.

Dazu nutzen wir, dass ${}r$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gegen Null geht, wenn ${}\lVert r\rVert ^{2}$ gegen Null geht. Dieses geht wiederum gegen Null, weil

$\lVert r(t,w)\rVert ^{2}={\frac {\lVert tw\rVert ^{2}}{\lVert (t,w)\rVert ^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}{\frac {\lVert w\rVert ^{2}}{\lVert (t,w)\rVert ^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}{\frac {w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}{t^{2}+w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}}\leq \vert {t}\vert ^{2}{\frac {w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}{w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}.$

Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass in einer Umgebung von ${}P$

$\varphi (s+t,v+w)=\varphi (s,v)+(D\varphi )_{P}(t,w)+\lVert (t,w)\rVert r(t,w),$

wobei ${}(D\varphi )_{P}(t,w)$ und ${}r$ die nötigen Eigenschaften besitzen. Da der Punkt ${}P$ bei obiger Betrachtung beliebig war, ist die Skalarmultiplikation ${}\varphi$ insgesamt differenzierbar. Es ist zu sehen, dass der Beweis der Differenzierbarkeit mit Hilfe der Definition recht mühsam sein kann. Das Benutzen von Satz . ist in der Regel zu bevorzugen.

 

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve ${}f\colon J\rightarrow V$ und eine differenzierbare Umparametrisierung ${}h\colon I\rightarrow J$) ab.

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}W$ ein euklidischer Vektorraum und

$\varphi \colon I\longrightarrow W$

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

${}{\left(D\varphi \right)}_{t}{\left(1\right)}=\varphi '(t)\,$

besteht.

Aufgabe *

Es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$, sei ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ eine total differenzierbare Funktion und ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Zeige

${}\left(D{\left(g\circ f\right)}\right)_{P}=g'(f(P))\cdot \left(Df\right)_{P}\,$

für ${}P\in G$.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.4.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 45.4 auf das Diagramm

$G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

${}\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und ${}L\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist differenzierbar in ${}P$ mit dem totalen Differential ${}L$.
2. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

3. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art ${}P\mapsto P+v$ mit einem festen Vektor ${}v\in V$, wenn

${}\left(D\varphi \right)_{P}=\operatorname {Id} _{V}\,$

für alle ${}P\in V$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Mengen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ in ${}P$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung

$f\cdot \varphi \colon G\longrightarrow W$

in ${}P$ differenzierbar ist mit

${}\left(D(f\cdot \varphi )\right)_{P}=f(P)\cdot \left(D\varphi \right)_{P}+\left(Df\right)_{P}\cdot \varphi (P)\,.$

Tipp: Verwende Aufgabe 45.12 und die Kettenregel.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

eine im Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ komplex differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ auch als Funktion von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$ im reellen Sinn total differenzierbar ist. In welcher Beziehung steht die komplexe Zahl ${}f'(P)$ und das totale Differential ${}\left(Df\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$?