Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 9
- Übungsaufgaben
Zeige, dass die Menge der Untergruppen einer Gruppe mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der erzeugten Untergruppe einen Verband bildet.
Es sei eine Gruppe, der zugehörige Teilmengenverband und der zugehörige Untergruppenverband. Zeige, dass die natürliche Inklusion ordnungstreu ist, aber nicht mit den Verbandsverknüpfungen verträglich sein muss.
Die folgende Aussage setzt eine gewisse Kenntnis in Galoistheorie voraus.
Es sei eine Galoiserweiterung. Es sei der Verband der Zwischenkörper der Erweiterung und sei der Verband der Untergruppen der Galoisgruppe . Zeige, dass durch die Galoiskorrespondenz eine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden und gegeben ist.
Es sei , , eine Familie von Verbänden. Zeige, dass die Produktmenge mit der Produktordnung ebenfalls ein Verband ist.
Kommentar:
Dies ist eher eine Frage zum Umgang mit Produktmengen als mit Verbänden, bei „jedem“ Konzept fragt man sich, wie sich das bei Produktmengen verhält. Bei Produktmengen sind zwei Spezialfälle besonders wichtig und helfen einem, sich der Sache anzunähern, nämlich das Produkt von zwei Mengen und ein vielfaches Produkt, wo die Faktoren alle gleich sind. Letztere Situation liegt in Aufgabe 9.7 vor, man kann auch damit starten, das ist vielleicht vertrauter. Dort sind die einzelnen Verbände stets die total geordneten reellen Zahlen.
Wir wissen bereits, dass eine Produktmenge von geordneten Mengen wieder eine geordnete Menge ist, siehe Aufgabe 7.7. Ein Element in der Produktmenge hat die Form , , jedem aus der Indexmenge wird ein Element zugeordnet. Die Ordnungsrelation besagt
genau dann, wenn
für alle ist. Das einzige, was bei einem Verband hinzukommt, ist die Existenz eines Infimums und eines Supremums. Es muss also ein Infimum von und angegeben werden. Zu jedem einzelnen gibt es das Infimum . Aus diesen bastelt man sich das Infimum der beiden Elemente und muss dann noch die Infimumseigenschaft nachweisen.
Es sei eine Menge und eine total geordnete Menge. Zeige, dass die Abbildungsmenge
in natürlicher Weise ein Verband ist.
Wir versehen die zweielementige Menge mit der Ordnung . Es sei eine Menge. Zeige, dass die Verbandsstruktur auf der Abbildungsmenge im Sinne von Aufgabe 9.5 als Verband isomorph zum Teilmengenverband ist. Was sind die „atomaren Funktionen“?
Es sei ein kommutatives Monoid. Man sagt, dass das Element das Element teilt, wenn es ein mit gibt.
Es sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die Teilbarkeit in eine reflexive und transitive Relation, aber im Allgemeinen keine Ordnungsrelation ist.
Es sei eine Menge und die zugehörige Potenzmenge, die wir als kommutatives Monoid mit dem Durchschnitt als Verknüpfung auffassen. Es seien . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist ein Teiler (im monoidtheoretischen Sinn) von .
In einem Verband gilt stets
für jedes . Diese Eigenschaft nennt man Idempotenz, sie tritt in einem Ring ebenfalls auf, aber typischerweise nur für gewisse Elemente.
Bestimme für einen Körper die idempotenten Elemente, also Elemente mit . Bestimme die linearen Projektionen .
Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring mit einem von und verschiedenen Element mit .
- Bestimme die idempotenten Elemente im Ring aller Funktionen von nach .
- Bestimme die idempotenten Elemente im Ring aller stetigen Funktionen von nach .
Betrachte eine endliche geordnete Menge mit einem kleinsten Element und einem größten Element , das darüber hinaus aus Elementen mit besteht, und für die es untereinander keine Größerbeziehung gibt. Ist dies ein Verband? Ist er komplementär? Ist er distributiv?
Zeige, dass in einem booleschen Verband die Gleichheit für alle gilt.
Kommentar:
In einem booleschen Verband wissen wir nach Lemma 9.16 (1), das zu jedem Element es genau ein Element mit und gibt, und dieses wird mit bezeichnet. Hier schlägt dann das Prinzip „Gleichheit wegen Eindeutigkeit“ zu, d.h. man zeigt
darüber, indem man zeigt, dass diejenige Eigenschaft erfüllt, die für charakteristisch ist. Dieses Argumentationsschema wird beispielsweise auch bei Aufgabe 5.2 verwendet. Also: ist dasjenige Element, das die Eigenschaften
und
Es ist aber auch
und
Deshalb erfüllen und die beiden gleichen Eigenschaften, durch diese Eigenschaften ist aber das Element bereits eindeutig bestimmt. Also ist
Zeige, dass in einem booleschen Verband die Gleichheiten und gelten.
Zeige, dass in einem booleschen Verband die Gleichheit für alle gilt.
Es sei eine geordnete Menge mit einem kleinsten Element und mit der Eigenschaft, dass zu je zwei Elementen das Infimum existiert. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten.
- Wenn ein Atom ist, so ist oder für alle .
- Wenn und verschiedene Atome sind, so ist .
- Es sei endlich. Dann gibt es zu jedem ein Atom mit .
Bestimme die möglichen Anzahlen eines endlichen booleschen Verbandes.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei der Teilerverband auf den natürlichen Zahlen im Sinne von Beispiel 9.3 und der Untergruppenverband von im Sinne von Beispiel 9.5. Zeige, dass diese beiden Verbände isomorph zueinander sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass ein total geordneter beschränkter komplementärer Verband gleich oder gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass in einem booleschen Verband die Gleichheit für alle gilt.
Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)
Es sei eine positive natürliche Zahl und sei die Menge aller Teiler von , versehen mit dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum.
- Zeige, dass ein beschränkter Verband ist.
- Charakterisiere die Zahlen , für die ein komplementärer Verband vorliegt.
- Charakterisiere die Zahlen , für die ein distributiver Verband vorliegt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und sei
mit der Produktordnung versehen, sodass ein Verband vorliegt. Für welche liegt ein beschränkter Verband, ein komplementärer Verband, ein distributiver Verband vor?
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