Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 9

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Untergruppen einer Gruppe mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der erzeugten Untergruppe einen Verband bildet.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, der zugehörige Teilmengenverband und der zugehörige Untergruppenverband. Zeige, dass die natürliche Inklusion ordnungstreu ist, aber nicht mit den Verbandsverknüpfungen verträglich sein muss.


Die folgende Aussage setzt eine gewisse Kenntnis in Galoistheorie voraus.

Aufgabe

Es sei eine Galoiserweiterung. Es sei der Verband der Zwischenkörper der Erweiterung und sei der Verband der Untergruppen der Galoisgruppe . Zeige, dass durch die Galoiskorrespondenz eine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden und gegeben ist.


Aufgabe

Es sei , , eine Familie von Verbänden. Zeige, dass die Produktmenge mit der Produktordnung ebenfalls ein Verband ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und eine total geordnete Menge. Zeige, dass die Abbildungsmenge

in natürlicher Weise ein Verband ist.


Aufgabe

Wir versehen die zweielementige Menge mit der Ordnung . Es sei eine Menge. Zeige, dass die Verbandsstruktur auf der Abbildungsmenge im Sinne von Aufgabe 9.5 als Verband isomorph zum Teilmengenverband ist. Was sind die „atomaren Funktionen“?


Aufgabe *

Zeige, dass auf der Funktionsmenge Infima und Suprema existieren und dass somit ein Verband ist. Skizziere das Infimum von der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion.


Es sei ein kommutatives Monoid. Man sagt, dass das Element das Element teilt, wenn es ein mit gibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die Teilbarkeit in eine reflexive und transitive Relation, aber im Allgemeinen keine Ordnungsrelation ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und die zugehörige Potenzmenge, die wir als kommutatives Monoid mit dem Durchschnitt als Verknüpfung auffassen. Es seien . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist ein Teiler (im monoidtheoretischen Sinn) von .


In einem Verband gilt stets für jedes . Diese Eigenschaft nennt man Idempotenz, sie tritt in einem Ring ebenfalls auf, aber typischerweise nur für gewisse Elemente.

Aufgabe

Bestimme für einen Körper die idempotenten Elemente, also Elemente mit . Bestimme die linearen Projektionen .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring mit einem von und verschiedenen Element mit .


Aufgabe

  1. Bestimme die idempotenten Elemente im Ring aller Funktionen von nach .
  2. Bestimme die idempotenten Elemente im Ring aller stetigen Funktionen von nach .


Aufgabe

Man gebe Beispiele für nichttriviale reelle -Matrizen mit .


Aufgabe

Betrachte eine endliche geordnete Menge mit einem kleinsten Element und einem größten Element , das darüber hinaus aus Elementen mit besteht, und für die es untereinander keine Größerbeziehung gibt. Ist dies ein Verband? Ist er komplementär? Ist er distributiv?


Aufgabe

Zeige, dass in einem booleschen Verband die Gleichheit für alle gilt.


Aufgabe

Zeige, dass in einem booleschen Verband die Gleichheiten und gelten.


Aufgabe *

Zeige, dass in einem booleschen Verband die Gleichheit für alle gilt.


Aufgabe

Es sei eine geordnete Menge mit einem kleinsten Element und mit der Eigenschaft, dass zu je zwei Elementen das Infimum existiert. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. Wenn ein Atom ist, so ist oder für alle .
  2. Wenn und verschiedene Atome sind, so ist .
  3. Es sei endlich. Dann gibt es zu jedem ein Atom mit .


Aufgabe

Bestimme die möglichen Anzahlen eines endlichen booleschen Verbandes.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei der Teilerverband auf den natürlichen Zahlen im Sinne von Beispiel 9.3 und der Untergruppenverband von im Sinne von Beispiel 9.5. Zeige, dass diese beiden Verbände isomorph zueinander sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein total geordneter beschränkter komplementärer Verband gleich oder gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in einem booleschen Verband die Gleichheit für alle gilt.


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Es sei eine positive natürliche Zahl und sei die Menge aller Teiler von , versehen mit dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum.

  1. Zeige, dass ein beschränkter Verband ist.
  2. Charakterisiere die Zahlen , für die ein komplementärer Verband vorliegt.
  3. Charakterisiere die Zahlen , für die ein distributiver Verband vorliegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und sei

mit der Produktordnung versehen, so dass ein Verband vorliegt. Für welche liegt ein beschränkter Verband, ein komplementärer Verband, ein distributiver Verband vor?



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