Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 7/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring eine Untergruppe von ist.

b) Zeige, dass für die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.

c) Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring und eine Untergruppe , die kein Ideal ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge

ein Ideal in ist. Ist es ein Hauptideal?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und seien , , eine Familie von Idealen. Zeige, dass der Durchschnitt wieder ein Ideal ist.


Aufgabe Aufgabe 7.5 ändern

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.


Aufgabe Aufgabe 7.6 ändern

Sei ein kommutativer Ring und . Zeige folgende Aussagen.

  1. Das Element ist ein Teiler von (also ), genau dann, wenn .
  2. ist eine Einheit genau dann, wenn .
  3. Jede Einheit teilt jedes Element.
  4. Teilt eine Einheit, so ist selbst eine Einheit.


Aufgabe Aufgabe 7.7 ändern

Sei ein kommutativer Ring, und

der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale und . Zeige, dass ein gemeinsames Vielfaches von genau dann ist, wenn ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und sei die Menge aller Ideale in , die wir mit den beiden Verknüpfungen Summe von Idealen und Produkt von Idealen versehen. Welche Ringaxiome gelten dafür?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit


Ein homogenes Polynom ist ein Polynom, bei dem alle beteiligten Monome den gleichen Summengrad besitzen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und der Polynomring darüber in Variablen. Es sei das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass ist, wobei das Ideal in bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad erzeugt wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Radikale, die Primideale und die maximalen Ideale.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in das Radikal zum Ideal .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.


Aufgabe Aufgabe 7.15 ändern

Sei ein Integritätsbereich und sei keine Einheit. Dann ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Ideal ein Primideal ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, der Polynomring über und ein lineares Polynom (). Zeige, dass das Hauptideal maximal ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, der Polynomring über und zwei Elemente. Zeige, dass die Menge

ein maximales Ideal in ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass im Polynomring das Ideal kein Hauptideal ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Potenzen , alle dasselbe Radikal besitzen.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal in . Zeige: ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem , , ein und ein gibt mit .


Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 7.21 ändern

Zeige, dass ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ein Primideal ist.



<< | Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)