Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 24

Quadratische Körpererweiterungen

Die aller einfachste Körpererweiterung ist die identische Körpererweiterung  ${}K=K$,  die den Grad ${}1$ besitzt. Die nächst einfachsten sind die vom Grad zwei.

Definition

Eine endliche Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Beispiele sind  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]$,  wobei ${}p$ eine Primzahl ist (oder sonst eine rationale Zahl ohne rationale Quadratwurzel) oder  ${}K=K[X]/(P)$  zu einem irreduziblen quadratischen Polynom  ${}P=X^{2}+aX+b$. 

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei  ${}K\subseteq L$  eine quadratische Körpererweiterung.

Dann gibt es ein ${}x\in L$ , ${}x\notin K$ und ${}x^{2}\in K$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}L$ ein zweidimensionaler Vektorraum über ${}K$, und darin ist  ${}K=K1$  ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element  ${}y\in L$  derart, dass ${}1$ und ${}y$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden. Wir können

${}y^{2}=a+by\,$

schreiben, bzw. (da ${}2$ eine Einheit ist),

${}0=y^{2}-by-a={\left(y-{\frac {b}{2}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}-a\,.$

Mit  ${}x=y-{\frac {b}{2}}$  gilt also  ${}x^{2}={\frac {b^{2}}{4}}+a\in K$  und ${}1$ und ${}x$ bilden ebenfalls eine ${}K$-Basis von ${}L$.

$\Box$

Satz

Es sei  ${}\mathbb {R} \subseteq K$  eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.

Dann ist ${}K$ isomorph zu ${}\mathbb {R}$ oder zu ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Das reelle normierte Polynom  ${}P\in \mathbb {R} [X]$  zerfällt über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist

${}P=\prod _{j}(X-\lambda _{j})\,$

mit  ${}\lambda _{j}=a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$.  Da ${}P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt

${}\prod _{j}(X-\lambda _{j})=P={\overline {P}}=\prod _{j}(X-{\overline {\lambda _{j}}})\,.$

Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem ${}j$ ein ${}k$ mit

${}{\overline {\lambda _{j}}}=\lambda _{k}\,.$

D.h. entweder, dass  ${}\lambda _{j}\in \mathbb {R}$  ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber  ${}j\neq k$  und dann ist

${}(X-\lambda _{j})(X-{\overline {\lambda _{j}}})=(X-a_{j}-b_{j}{\mathrm {i} })(X-a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} })=X^{2}-2a_{j}X+a_{j}^{2}+b_{j}^{2}\,$

ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von ${}P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.

Es sei nun  ${}\mathbb {R} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Es sei  ${}\mathbb {R} \subset L$  und ${}x\in L$, ${}x\not \in \mathbb {R}$. Dann ist ${}x$ algebraisch über ${}\mathbb {R}$ und nach Satz 23.1 ist  ${}\mathbb {R} [x]\cong \mathbb {R} [X]/(P)$  mit einem irreduziblen Polynom ${}P$ (dem Minimalpolynom zu ${}x$). Das Polynom ${}P$ besitzt in ${}{\mathbb {C} }$ Nullstellen, sodass es einen ${}\mathbb {R}$- Algebrahomomorphismus ${}\mathbb {R} [X]/(P)\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung  ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$.  Da ${}{\mathbb {C} }$ algebraisch abgeschlossen ist, muss nach Aufgabe 23.4  ${}{\mathbb {C} }=L$  sein.

$\Box$

Die Gradformel

Satz

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen.

Dann ist auch  ${}K\subseteq M$  eine endliche Körpererweiterung und es gilt

${}\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,.$

Beweis

Wir setzen ${}\operatorname {grad} _{K}L=n$ und ${}\operatorname {grad} _{L}M=m$. Es sei  ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$  eine ${}K$- Basis von ${}L$ und  ${}y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$  eine ${}L$-Basis von ${}M$. Wir behaupten, dass die Produkte

$x_{i}y_{j},1\leq i\leq n,1\leq j\leq m,$

eine ${}K$-Basis von ${}M$ bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum ${}M$ über ${}K$ erzeugen. Es sei dazu  ${}z\in M$.  Wir schreiben

$z=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}{\text{ mit Koeffizienten }}b_{j}\in L.$

Wir können jedes ${}b_{j}$ als ${}b_{j}=a_{1j}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{n}$ mit Koeffizienten ${}a_{ij}\in K$ ausdrücken. Das ergibt

${}{\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}$

Daher ist ${}z$ eine ${}K$-Linearkombination der Produkte ${}x_{i}y_{j}$.
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

${}0=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}c_{ij}x_{i}y_{j}\,$

mit  ${}c_{ij}\in K$  angenommen. Wir schreiben dies als  ${}0=\sum _{j=1}^{m}{\left(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}\right)}y_{j}$.  Da die ${}y_{j}$ linear unabhängig über ${}L$ sind und die Koeffizienten der ${}y_{j}$ zu ${}L$ gehören, folgt, dass  ${}\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}=0$  ist für jedes ${}j$. Da die ${}x_{i}$ linear unabhängig über ${}K$ sind und  ${}c_{ij}\in K$  ist, folgt, dass  ${}c_{ij}=0$  für alle ${}i,j$ ist.

$\Box$

Endliche Körper

Wir wissen nach Satz 15.2, dass ein Restklassenring der Form ${}\mathbb {Z} /(n)$ genau dann ein Körper ist, wenn ${}n$ eine Primzahl ist. Dies bedeutet insbesondere, dass es zu jeder Primzahl ${}p$ einen Körper gibt, der ${}p$ Elemente besitzt. Hier fragen wir uns, ob es weitere Körper mit endlich vielen Elementen gibt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann besitzt ${}K$ genau ${}p^{n}$ Elemente, wobei ${}p$ eine Primzahl ist und  ${}n\geq 1$. 

Beweis

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik ${}0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Lemma 13.5 nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit ${}p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass ${}K$ den Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber ${}K$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da ${}K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei ${}n$ die Dimension,  ${}n\geq 1$.  Dann hat man eine ${}\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie

${}K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$

und somit besitzt ${}K$ gerade ${}p^{n}$ Elemente.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper der Charakteristik nicht ${}2$.

Dann ist die Hälfte der Einheiten  ${}K^{\times }=K\setminus \{0\}$  ein Quadrat.

Beweis

Wir betrachten die Quadratabbildung

$K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{2},$

der Einheitengruppe in sich selbst. Dies ist ein Gruppenhomomorphismus. Eine Einheit ist genau ein Quadrat, wenn sie im Bild dieser Abbildung liegt. Der Kern besteht aus den Elementen, deren Quadrat gleich ${}1$ ist. Das sind die beiden Elemente ${}1$ und ${}-1$ (die aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik verschieden sind). Der Isomorphiesatz liefert, dass das Bild isomorph zur Ausgangsgruppe ${}K^{\times }$ modulo ${}\{1,-1\}$ ist und insbesondere aus ${}{\frac {\#\left(K^{\times }\right)}{2}}$ Elementen besteht.

$\Box$

Wenn die Anzahl des Körpers gleich ${}p^{n}$ ist, so ist die Anzahl der Quadrate also gleich ${}{\frac {p^{n}-1}{2}}$. Insbesondere weiß man, dass es in einem endlichen Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ stets Nichtquadrate gibt. Diese kann man wiederum verwenden, um quadratische Körpererweiterungen zu definieren.

Korollar

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann gibt es einen Körper mit ${}p^{2}$ vielen Elementen.

Dieser ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Beweis

In Charakteristik ${}2$ ist dies ${}\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}$. Die Charakteristik ${}p$ sei also ungerade. Wir gehen vom Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ aus. Nach Lemma 24.6 gibt es darin ein Element  ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$,  das kein Quadrat ist. Das Polynom  ${}X^{2}-a\in \mathbb {Z} /(p)[X]$  ist nach Lemma 6.9 irreduzibel, da es keine Nullstelle besitzt. Daher ist

${}K=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\,$

ein Körper nach Satz 15.1. Dieser besitzt ${}p^{2}$ viele Elemente.

Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei ${}L$ ein Körper mit ${}p^{2}$ vielen Elementen. Er enthält den Primkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ und daher liegt eine quadratische Körpererweiterung  ${}\mathbb {Z} /(p)\subset L$  vor. Nach Lemma 24.2 (in Charakteristik ${}2$ muss man etwas anders argumentieren) ist

${}L\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\,$

mit ${}X^{2}-a$ irreduzibel, also ${}a$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$. Der Körper kann also auf die eingangs beschriebene Form gebracht werden. Es sei nun  ${}K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}$  und  ${}L\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)}$  mit  ${}a,b\in \mathbb {Z} /(p)$,  die keine Quadrate seien. Nach Aufgabe 24.21 ist ${}a/b$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$, sagen wir  ${}{\frac {a}{b}}=c^{2}$  bzw.  ${}a=c^{2}b$.  Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} /(p)[X]\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)},\,X\longmapsto cY.$

Dieser ist surjektiv wegen  ${}\varphi {\left(c^{-1}X\right)}=Y$.  Ferner ist

${}\varphi {\left(X^{2}-a\right)}=c^{2}Y^{2}-a=c^{2}Y^{2}-c^{2}b=c^{2}{\left(Y^{2}-b\right)}=0\,.$

Also gehört ${}X^{2}-a$ zum Kern und wegen der Irreduzibilität ist der Kern gleich ${}{\left(X^{2}-a\right)}$. Nach Korollar 14.5 erhalten wir eine Isomorphie

${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)}\,.$

$\Box$

Der Hauptsatz über endliche Körper ist der folgende Satz, dessen Beweis zusätzliche Mittel (insbesondere das Konzept des Zerfällungskörpers) benötigt.

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und  ${}e\in \mathbb {N} _{+}$. 

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit  ${}q=p^{e}$  Elementen.

Der eindeutig bestimmte Körper mit  ${}q=p^{e}$  Elementen wird mit ${}{\mathbb {F} }_{q}$ bezeichnet. Oben haben wir die Existenz und Eindeutigkeit der Körper ${}{\mathbb {F} }_{p^{2}}$ nachgewiesen.

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