Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 24

Quadratische Körpererweiterungen

Die aller einfachste Körpererweiterung ist die identische Körpererweiterung ${}K=K$, die den Grad ${}1$ besitzt. Die nächst einfachsten sind die vom Grad zwei.

Definition

Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Beispiele sind ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]$, wobei ${}p$ eine Primzahl ist (oder sonst eine rationale Zahl ohne rationale Quadratwurzel) oder ${}K=K[X]/(P)$ zu einem irreduziblen quadratischen Polynom ${}P=X^{2}+aX+b$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung.

Dann gibt es ein ${}x\in L$ , ${}x\notin K$ und ${}x^{2}\in K$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}L$ ein zweidimensionaler Vektorraum über ${}K$, und darin ist ${}K=K1$ ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element ${}y\in L$ derart, dass ${}1$ und ${}y$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden. Wir können

${}y^{2}=a+by\,$

schreiben, bzw. (da ${}2$ eine Einheit ist),

${}0=y^{2}-by-a={\left(y-{\frac {b}{2}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}-a\,.$

Mit ${}x=y-{\frac {b}{2}}$ gilt also ${}x^{2}={\frac {b^{2}}{4}}+a\in K$ und ${}1$ und ${}x$ bilden ebenfalls eine ${}K$-Basis von ${}L$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}\mathbb {R} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.

Dann ist ${}K$ isomorph zu ${}\mathbb {R}$ oder zu ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Das reelle normierte Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$ zerfällt über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist

${}P=\prod _{j}(X-\lambda _{j})\,$

mit ${}\lambda _{j}=a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$. Da ${}P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt

${}\prod _{j}(X-\lambda _{j})=P={\overline {P}}=\prod _{j}(X-{\overline {\lambda _{j}}})\,.$

Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem ${}j$ ein ${}k$ mit

${}{\overline {\lambda _{j}}}=\lambda _{k}\,.$

D.h. entweder, dass ${}\lambda _{j}\in \mathbb {R}$ ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber ${}j\neq k$ und dann ist

${}(X-\lambda _{j})(X-{\overline {\lambda _{j}}})=(X-a_{j}-b_{j}{\mathrm {i} })(X-a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} })=X^{2}-2a_{j}X+a_{j}^{2}+b_{j}^{2}\,$

ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von ${}P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.

Es sei nun ${}\mathbb {R} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei ${}\mathbb {R} \subset L$ und ${}x\in L$, ${}x\not \in \mathbb {R}$. Dann ist ${}x$ algebraisch über ${}\mathbb {R}$ und nach Fakt ***** ist ${}\mathbb {R} [x]\cong \mathbb {R} [X]/(P)$ mit einem irreduziblen Polynom ${}P$ (dem Minimalpolynom zu ${}x$). Das Polynom ${}P$ besitzt in ${}{\mathbb {C} }$ Nullstellen, so dass es einen ${}\mathbb {R}$- Algebrahomomorphismus ${}\mathbb {R} [X]/(P)\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$. Da ${}{\mathbb {C} }$ algebraisch abgeschlossen ist, muss nach Aufgabe ***** ${}{\mathbb {C} }=L$ sein.

$\Box$

Die Gradformel

Satz

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen.

Dann ist auch ${}K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung und es gilt

${}\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,.$

Beweis

Wir setzen ${}\operatorname {grad} _{K}L=n$ und ${}\operatorname {grad} _{L}M=m$. Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine ${}K$- Basis von ${}L$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{m}\in M$ eine ${}L$-Basis von ${}M$. Wir behaupten, dass die Produkte

$x_{i}y_{j},1\leq i\leq n,1\leq j\leq m,$

eine ${}K$-Basis von ${}M$ bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum ${}M$ über ${}K$ erzeugen. Es sei dazu ${}z\in M$. Wir schreiben

$z=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}{\text{ mit Koeffizienten }}b_{j}\in L.$

Wir können jedes ${}b_{j}$ als ${}b_{j}=a_{1j}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{n}$ mit Koeffizienten ${}a_{ij}\in K$ ausdrücken. Das ergibt

${}{\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}$

Daher ist ${}z$ eine ${}K$-Linearkombination der Produkte ${}x_{i}y_{j}$.
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

${}0=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}c_{ij}x_{i}y_{j}\,$

angenommen mit ${}c_{ij}\in K$. Wir schreiben dies als ${}0=\sum _{j=1}^{m}{\left(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}\right)}y_{j}$. Da die ${}y_{j}$ linear unabhängig über ${}L$ sind und die Koeffizienten der ${}y_{j}$ zu ${}L$ gehören, folgt, dass ${}\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}=0$ ist für jedes ${}j$. Da die ${}x_{i}$ linear unabhängig über ${}K$ sind und ${}c_{ij}\in K$ ist, folgt, dass ${}c_{ij}=0$ für alle ${}i,j$ ist.

$\Box$

Zerfällungskörper

Wir wollen zu einem Polynom ${}F\in K[X]$ einen Körper konstruieren, über dem ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Dies beruht auf einer recht einfachen Konstruktion. Zu jedem Körper kann man sogar einen Körper ${}K\subseteq {\overline {K}}$ konstruieren, der algebraisch abgeschlossen ist, was wir aber nicht ausführen werden. Eine erste Anwendung ist die Konstruktion und die Charakterisierung von endlichen Körpern.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F$ ein Polynom aus ${}K[X]$.

Dann gibt es einen Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}F$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt.

Beweis

Es sei ${}F=P_{1}\cdots P_{r}$ die Zerlegung in Primpolynome in ${}K[X]$, und sei ${}P_{1}$ nicht linear. Dann ist

$K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'$

eine Körpererweiterung von ${}K$ nach Fakt *****. Wegen ${}P_{1}(Y)=0$ in ${}K'$ ist die Restklasse ${}y$ von ${}Y$ in ${}K'$ eine Nullstelle von ${}P_{1}$. Daher gilt nach Fakt ***** in ${}K'[X]$ die Faktorisierung ${}P_{1}=(X-y){\tilde {P}}$, wobei ${}{\tilde {P}}$ einen kleineren Grad als ${}P_{1}$ hat. Das Polynom ${}F$ hat also über ${}K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über ${}K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen ${}K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots$, die stationär wird, sobald ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt.

$\Box$

Wenn ${}F$ quadratisch ist, so ist man nach einer einzigen Körpererweiterung fertig, da aus der Existenz einer Nullstelle direkt folgt, dass das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Aber schon ab Grad ${}3$ ist es eher eine Ausnahme, dass über ${}K[X]/(F)$ das Polynom bereits in Linearfaktoren zerfällt, und dann muss man wie im Lemma beschrieben induktiv weitermachen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von ${}F$. Dann nennt man

${}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$

einen Zerfällungskörper von ${}F$.

Es handelt sich hierbei wirklich um einen Körper, wie wir gleich sehen werden. Häufig beschränkt man sich auf Polynome vom Grad ${}\geq 1$, bei konstanten Polynomen sehen wir einfach ${}K$ selbst als Zerfällungskörper an. Über dem Zerfällungskörper zerfällt das gegebene Polynom in Linearfaktoren, da er ja nach Definition alle Nullstellen enthält, mit denen alle beteiligten Linearfaktoren formuliert werden können.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Es sei ${}K\subseteq K'\subseteq L$ ein Zwischenkörper.

Dann ist ${}L$ auch ein Zerfällungskörper des Polynoms ${}F\in K'[X]$.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$.

Dann ist ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Beweis

Es sei ${}K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearformen zerfällt und ${}L=K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq M$, wobei ${}a_{i}\in M$ die Nullstellen von ${}F$ seien. Es liegt eine Kette von ${}K$- Algebren

${}K\subseteq K[a_{1}]\subseteq K[a_{1},a_{2}]\subseteq \cdots \subseteq K[a_{1},\ldots ,a_{n}]=L\subseteq M\,$

vor. Dabei ist sukzessive ${}a_{i}$ algebraisch über ${}K[a_{1},\ldots ,a_{i-1}]$, da ja ${}a_{i}$ eine Nullstelle von ${}F\in K[X]$ ist. Daher sind die Inklusionen nach Fakt ***** endliche Körpererweiterungen und nach Fakt ***** ist dann die Gesamtkörpererweiterung ebenfalls endlich.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Es seien ${}K\subseteq L_{1}$ und ${}K\subseteq L_{2}$ zwei Zerfällungskörper von ${}F$.

Dann gibt es einen ${}K$- Algebraisomorphismus

$\varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.$

Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Grad ${}\operatorname {grad} _{K}L_{1}$. Wenn der Grad eins ist, so ist ${}K=L_{1}$ und das Polynom ${}F$ zerfällt bereits über ${}K$ in Linearfaktoren. Dann gehören alle Nullstellen von ${}F$ in einem beliebigen Erweiterungskörper ${}K\subseteq M$ zu ${}K$ selbst. Also ist auch ${}L_{2}=K$. Es sei nun ${}\operatorname {grad} _{K}L_{1}\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bewiesen. Dann zerfällt ${}F$ über ${}K$ nicht in Linearfaktoren. Daher gibt es einen irreduziblen Faktor ${}P$ von ${}F$ mit ${}\operatorname {grad} \,(P)\geq 2$ und ${}K'=K[X]/(P)$ ist nach Fakt ***** und nach Fakt ***** eine Körpererweiterung von ${}K$ vom Grad ${}\geq 2$. Da ${}P$ als Faktor von ${}F$ ebenfalls über ${}L_{1}$ und über ${}L_{2}$ in Linearfaktoren zerfällt, gibt es ${}K$-Algebrahomomorphismen ${}K'\rightarrow L_{1}$ und ${}K'\rightarrow L_{2}$. Diese sind injektiv, so dass ${}K'$ sowohl von ${}L_{1}$ als auch von ${}L_{2}$ ein Unterkörper ist. Nach Fakt ***** sind dann ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ Zerfällungskörper von ${}F\in K'[X]$. Nach Fakt ***** ist

${}\operatorname {grad} _{K'}L_{1}<\operatorname {grad} _{K}L_{1}\,,$

so dass wir auf ${}K',L_{1},L_{2}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es gibt also einen ${}K'$-Algebraisomorphismus

$\varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.$

Dieser ist erst recht ein ${}K$-Algebraisomorphismus.

$\Box$

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