Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei ${}\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}U$. Zeige, dass durch

$F\colon U_{\omega }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(P,G(P))\longmapsto G(P),$

eine wohldefinierte Funktion auf der Integralüberlagerung ${}U_{\omega }$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$, sei ${}[a,b]\rightarrow U$ ein stetiger Weg und sei ${}\theta \colon [c,d]\rightarrow [a,b]$ stetig mit ${}\theta (c)=a$ und ${}\theta (d)=b$. Zeige, dass

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\theta \circ \gamma }\omega \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}L$ genau dann ein Logarithmus ist, wenn ${}L$ ein Schnitt zur Überlagerung

$\exp \colon \exp ^{-1}(U)\longrightarrow U$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Menge mit ${}0\notin U$ und ${}1\in U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein Logarithmus. Zeige

${}L(1)=ne\pi {\mathrm {i} }\,$

mit einem ${}n\in \mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Menge mit ${}0\notin U$, sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein Logarithmus und sei

${\tilde {L}}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine weitere holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}{\tilde {L}}$ genau dann ein Logarithmus ist, wenn

${}{\tilde {L}}-L=ne\pi {\mathrm {i} }\,$

mit einem ${}n\in \mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Potenzfunktionen zu einem ganzzahligen Exponenten ${}n$ unabhängig von gewählten Logarithmus gleich ${}z^{n}$ sind.

Die folgende Aufgabe ist eine Verallgemeinerung von Korollar 20.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexe Potenzfunktion ${}z^{a}$ (bezüglich eines fixierten Logarithmus auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$) die Ableitungseigenschaft

${}{\left(z^{a}\right)}'=az^{a-1}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Teilmengen und sei ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ eine holomorphe Abbildung. Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}V$. Zeige, dass für die Auswertung der Fundamentalgruppe zu einer Differentialform ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\pi (U)&{\stackrel {\pi (\varphi )}{\longrightarrow }}&\pi (V)&\\&\!\!\!\!\!\Psi _{\varphi ^{*}(\omega )}\searrow &\downarrow \Psi _{\omega }\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass ${}G$ genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe ${}K(G)$ trivial ist.

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung ${}\varphi (K(G))\subseteq K(H)$.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}K(G)$ ihre Kommutatorgruppe. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}K(G)$ ist ein Normalteiler in ${}G$.
2. Die Restklassengruppe ${}G/K(G)$ ist abelsch.
3. Die Gruppe ${}G$ ist genau dann abelsch, wenn ${}K(G)$ trivial ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen den wegzusammenhängenden topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$H(\varphi )\colon H_{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H_{1}(Y,\mathbb {Z} )$

zwischen den zugehörigen Homologiegruppen gibt.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y,Z$ wegzusammenhängende topologische Räume, es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und

$\psi \colon Y\longrightarrow Z$

stetige Abbildungen. Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den ersten Homologiegruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Es ist

   ${}H_{1}(\psi \circ \varphi )=H_{1}(\psi )\circ H_{1}(\varphi )\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ und ${}\psi$ invers zueinander sind (was ${}X=Z$ voraussetzt), so sind ${}H_{1}(\psi )$ und ${}H_{1}(\varphi )$ invers zueinander.
3. Wenn ${}\varphi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist ${}H_{1}(\varphi )$ ein Isomorphismus.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei ${}\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}U$. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine Stammfunktion auf ${}U$ besitzt, wenn die Integralüberlagerung ${}U_{\omega }$ trivial ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}U_{\omega }$ die Integralüberlagerung zur holomorphen Differentialform ${}\omega ={\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Zeige, dass es eine Abbildung ${}G\colon {\mathbb {C} }\rightarrow U_{\omega }$ derart gibt, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {G}{\longrightarrow }}&U_{\omega }&\\&\!\!\!\!\!\exp \searrow &\downarrow p\!\!\!\!\!&\\&&U&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}{\mathrm {i} }^{\mathrm {i} }$ reell ist und bestimme diese Zahl mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, es bezeichne ${}H(U,\Omega )$ den Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf ${}U$ und ${}H(U,\Omega )_{\text{exakt}}$ den Untervektorraum der exakten Differentialformen. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung (vergleiche Lemma 22.11)

   $\Psi \colon H(U,\Omega )\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},\,\omega \longmapsto \Psi _{\omega },$

   ist ${}{\mathbb {C} }$- linear.

2. Die Abbildung ${}\Psi$ aus (1) induziert eine lineare Abbildung

   $\Psi \colon H(U,\Omega )/H(U,\Omega )_{\text{exakt}}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)},$

3. Die Abbildung aus (2) ist injektiv.