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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 22

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Übungsaufgaben

Es sei offen und sei eine holomorphe Differentialform auf . Zeige, dass durch

eine wohldefinierte Funktion auf der Integralüberlagerung gegeben ist.



Es sei eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge , sei ein stetiger Weg und sei stetig mit und . Zeige, dass

gilt.



Es sei eine zusammenhängende offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion. Zeige, dass genau dann ein Logarithmus ist, wenn ein Schnitt zur Überlagerung

ist.



Es sei eine zusammenhängende offene Menge mit und und sei ein Logarithmus. Zeige

mit einem ist.



Es sei eine zusammenhängende offene Menge mit , sei ein Logarithmus und sei

eine weitere holomorphe Funktion. Zeige, dass genau dann ein Logarithmus ist, wenn

mit einem ist.



Zeige, dass die komplexen Potenzfunktionen zu einem ganzzahligen Exponenten unabhängig von gewählten Logarithmus gleich sind.


Die folgende Aufgabe ist eine Verallgemeinerung von Korollar 20.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


Zeige, dass die komplexe Potenzfunktion (bezüglich eines fixierten Logarithmus auf einer offenen Menge ) die Ableitungseigenschaft

erfüllt.



Es seien offene Teilmengen und sei eine holomorphe Abbildung. Es sei eine holomorphe Differentialform auf . Zeige, dass für die Auswertung der Fundamentalgruppe zu einer Differentialform ein kommutatives Diagramm

vorliegt.



Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe trivial ist.



Es seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung .



Es sei eine Gruppe und ihre Kommutatorgruppe. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist ein Normalteiler in .
  2. Die Restklassengruppe ist abelsch.
  3. Die Gruppe ist genau dann abelsch, wenn trivial ist.



Es sei eine stetige Abbildung zwischen den wegzusammenhängenden topologischen Räumen und . Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

zwischen den zugehörigen Homologiegruppen gibt.



Es seien wegzusammenhängende topologische Räume, es seien und

stetige Abbildungen. Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den ersten Homologiegruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Es ist
  2. Wenn und invers zueinander sind (was voraussetzt), so sind und invers zueinander.
  3. Wenn ein Homöomorphismus ist, dann ist ein Isomorphismus.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen und sei eine holomorphe Differentialform auf . Zeige, dass genau dann eine Stammfunktion auf besitzt, wenn die Integralüberlagerung trivial ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die Integralüberlagerung zur holomorphen Differentialform auf . Zeige, dass es eine Abbildung derart gibt, dass das Diagramm

kommutiert.



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass reell ist und bestimme diese Zahl mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen.



Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ein Gebiet, es bezeichne den Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf und den Untervektorraum der exakten Differentialformen. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Abbildung (vergleiche Lemma 22.11)

    ist - linear.

  2. Die Abbildung aus (1) induziert eine lineare Abbildung
  3. Die Abbildung aus (2) ist injektiv.




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