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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 17

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Singularitäten

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Dann sagt man, dass eine isolierte Singularität im Punkt besitzt.

In dieser Situation gibt es nach Korollar 16.13 stets eine Laurent-Reihe, die das Verhalten der Funktion um den Punkt beschreibt.


Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass im Punkt eine hebbare Singularität besitzt, wenn es eine holomorphe Funktion auf gibt, die fortsetzt.

In dieser Situation besitzt die Funktion im Punkt einen wohlbestimmten Wert, nämlich den Wert der holomorphen Fortsetzung . Statt von einer isolierten Singularität spricht man auch von einer Undefiniertheitsstelle oder (im nicht hebbaren Fall) von einer Unstetigkeitsstelle.



Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. besitzt in eine hebbare Singularität.
  2. ist in einer offenen Umgebung von beschränkt.
  3. In der Laurent-Reihe zu in sind alle Koeffizienten zu negativen Indizes gleich .

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Satz 14.5. Die Äquivalenz von (1) und (3) ist klar, da eine Potenzreihe das gleiche ist wie eine Laurent-Reihe, deren Koeffizienten zu negativen Indizes gleich sind.



Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass im Punkt einen Pol besitzt, wenn keine hebbare Singularität ist, und es ein derart gibt, dass zu einer holomorphen Funktion auf fortsetzbar ist.

Die folgende Charakterisierung verwendet bereits den Begriff meromorph.


Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. besitzt in einen Pol.
  2. divergiert für bestimmt gegen .
  3. In der Laurent-Reihe zu in sind alle Koeffizienten zu Indizes unterhalb eines bestimmten Index gleich , und mindestens ein Koeffizient zu einem negativen Index ist nicht gleich .
  4. ist in meromorph, aber nicht holomorph.

Es sei (1) erfüllt, d.h. dass

mit einer holomorphen Funktion auf und . Dann divergiert für gegen , da ja der Zähler konvergiert und der Nenner dieses Verhalten besitzt. Dies ergibt (2). Von (2) nach (1). Wir betrachten die Funktion auf einer offenen Kreisscheibe von , worauf keine Nullstelle besitzt. Dies ist eine holomorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe, deshalb gibt es eine beschreibende Laurent-Reihe,

Die Voraussetzung bedeutet, dass für gegen konvergiert. Daher ist nach Satz 14.5 eine holomorphe Funktion, d.h.

mit einer holomorphen Funktion mit , . Durch invertieren folgt

wobei der rechte Faktor auf einer offenen Umgebung von definiert und holomorph ist.

Von (1) nach (3). Aus der Darstellung

aus (1) in Verbindung mit der Potenzreihenentwicklung

ergibt sich

Unterhalb von Index sind alle Koeffizienten gleich , und einer der Koeffizienten zu einem negativen Index muss sein, sonst wäre holomorph. Dies ergibt (3). Von (3) nach (1) ist klar, da man ja eine Laurent-Darstellung der Form

mit multiplizieren kann, um eine holomorphe Funktion in zu erreichen.

Die Äquivalenz von (2) und (4) ergibt sich unmittelbar aus der Definition für meromorph.



Meromorphe Funktionen

Es sei eine offene Teilmenge. Eine meromorphe Funktion auf ist gegeben durch eine diskrete Menge und eine holomorphe Funktion

derart, dass für jedes der Limes in existiert oder gleich ist.

Mit der Formulierung

meint man, dass

gilt, und damit meint man, dass es zu jedem ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

gilt. Dies ist äquivalent dazu, dass für jede Folge , die gegen konvergiert, die Bildfolge bestimmt gegen divergiert. Typische Beispiele für dieses Verhalten sind die inversen Potenzfunktionen mit .

Man identifiziert meormorphe Funktionen und auf , wenn es eine diskrete Teilmenge derart gibt, dass beide Funktionen auf holomorph sind und dort übereinstimmen. Für jede meromorphe Funktion gibt es eine kleines diskrete Menge derart, dass außerhalb davon definiert ist, siehe Aufgabe 17.7. Meromorphe Funktionen und werden miteinander addiert bzw. multipliziert, indem man zu einer Menge übergeht, auf der beide holomorph sind, und dort die Operationen ausführt.



Es sei ein Gebiet und es seien holomorphe Funktionen mit .

Dann ist eine meromorphe Funktion auf .

Nach Satz 14.6 ist die Nullstellenmenge von diskret. Außerhalb der Nullstellenmenge ist eine holomorphe Funktion. Es sei und sei eine offene Umgebung, auf der außer keine Nullstelle besitzt und auf der durch eine Potenzreihe beschreibbar ist. Die beschreibende Potenzreihe hat die Gestalt

mit und . Hierbei ist eine holomorphe Funktion mit , also ist auch holomorph in einer offenen Umgebung von . Auf ist

wobei einen wohldefinierten Limes für besitzt. Es geht also nur noch um das Limesverhalten von für . Dieser Limes ist aber .


Insbesondere sind rationale Funktionen meromorphe Funktionen auf . Die Funktion

ist holomorph, aber nicht rational, die Funktion ist meromorph, aber nicht holomorph und auch nicht rational. Es ist eine nichttriviale Aussage, dass man jede meromorphe Funktion als einen Quotienten von zwei holomorphen Funktionen auf schreiben kann.

Die folgende Aussage heißt Identitätssatz für meromorphe Funktionen.


Es sei ein Gebiet und es seien meromorphe Funktionen auf . Es sei die Menge der Polstellen von oder von . Die Übereinstimmungsmenge habe einen Häufungspunkt in .

Dann ist .

Beweis

Siehe Aufgabe 17.21.



Es sei ein Gebiet.

Dann ist die Menge der meromorphen Funktionen auf mit den natürlichen Verknüpfungen ein Körper.

Es ist klar, dass ein kommutativer Ring vorliegt. Es sei eine meromorphe Funktion auf , die auf holomorph sei. Nach Satz 14.6 ist die Nullstellenmenge von innerhalb von diskret. Somit ist auf nach Lemma 1.7 holomorph und aus den Nullstellen von werden Polstellen und umgekehrt.



Laurent-Entwicklung einer meromorphen Funktion

Es sei ein Gebiet und eine meromorphe Funktion . Es sei . Man nennt die Laurent-Entwicklung der auf einer offenen Kreisscheibenumgebung definierten holomorphen Funktion in die Laurent-Entwicklung von in .



Es sei ein Gebiet, eine meromorphe Funktion und .

Dann besitzt die Laurent-Reihe zu in die Form mit einem .

Dies folgt aus Lemma 17.5.


Dieser Sachverhalt ermöglicht die folgende Definition.


Es sei ein Gebiet und eine meromorphe Funktion . Es sei und sei die Laurent-Entwicklung von in . Dann nennt man das minimale mit die Ordnung von in . Sie wird mit bezeichnet.

Es sei ein Gebiet, eine meromorphe Funktion und ein Punkt. Die Ordnung von in ist eine ganze Zahl, man spricht auch von der Nullstellenordnung, wobei diese Bezeichnung insbesondere bei positiver Ordnung verwendet wird. Die Ordnung ist genau dann, wenn holomorph in ist. Anderfalls ist die Ordnung negativ und es liegt ein Pol vor. In diesem Fall nennt man das Negative der (negativen) Ordnung die Polordnung von in , diese ist also positiv. Wenn man von einem Pol der Ordnung spricht, so meint man, dass ein Pol der Polordnung vorliegt, die Ordnung ist also .



Der Tangens

ist nach Lemma 17.7 eine meromorphe Funktion auf . Die Nullstellen des Kosinus sind , da der Sinus in diesen Punkten keine Nullstelle besitzt, hat der Tangens in diesen Punkten einen Pol. Da die Nullstellenordnung des Kosinus in den Nullstellen gleich ist, ist die Polstellenordnung des Tangens gleich , der Tangens besitzt also in diesen Punkten die Ordnung . In den Punkten , den Nullstellen des Sinus, besitzt der Tangens die Ordnung , in allen weiteren Punkten die Ordnung .


Die Konzepte Hauptteil und Nebenteil einer Laurent-Reihe sind insbesondere für meromorphe Funktionen relevant.


Es sei eine offene Teilmenge und . Zu einer meromorphen Funktion auf mit der Laurent-Entwicklung nennt man den Hauptteil der Funktion in .

Der Hauptteil einer meromorphen Funktion in einem Punkt ist insbesondere ein Laurent-Polynom.


Es sei eine offene Teilmenge und . Zu einer meromorphen Funktion auf mit der Laurent-Entwicklung nennt man den Nebenteil der Funktion in .


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