Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 17

Singularitäten

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sagt man, dass ${}f$ eine isolierte Singularität im Punkt ${}a$ besitzt.

In dieser Situation gibt es nach Korollar 16.13 stets eine Laurent-Reihe, die das Verhalten der Funktion um den Punkt ${}a$ beschreibt.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Punkt ${}a$ eine hebbare Singularität besitzt, wenn es eine holomorphe Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ${}U$ gibt, die ${}f$ fortsetzt.

In dieser Situation besitzt die Funktion ${}f$ im Punkt ${}a$ einen wohlbestimmten Wert, nämlich den Wert ${}{\tilde {f}}(a)$ der holomorphen Fortsetzung ${}{\tilde {f}}$. Statt von einer isolierten Singularität spricht man auch von einer Undefiniertheitsstelle oder (im nicht hebbaren Fall) von einer Unstetigkeitsstelle.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ eine hebbare Singularität.
2. ${}\vert {f}\vert$ ist in einer offenen Umgebung von ${}a$ beschränkt.
3. In der Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}a$ sind alle Koeffizienten zu negativen Indizes gleich ${}0$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Satz 14.5. Die Äquivalenz von (1) und (3) ist klar, da eine Potenzreihe das gleiche ist wie eine Laurent-Reihe, deren Koeffizienten zu negativen Indizes gleich ${}0$ sind.

$\Box$

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Punkt ${}a$ einen Pol besitzt, wenn ${}f$ keine hebbare Singularität ist, und es ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass ${}(z-a)^{n}f$ zu einer holomorphen Funktion auf ${}U$ fortsetzbar ist.

Die folgende Charakterisierung verwendet bereits den Begriff meromorph.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ einen Pol.
2. ${}\vert {f(z)}\vert$ divergiert für ${}z\rightarrow a$ bestimmt gegen ${}\infty$.
3. In der Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}a$ sind alle Koeffizienten zu Indizes unterhalb eines bestimmten Index gleich ${}0$, und mindestens ein Koeffizient zu einem negativen Index ist nicht gleich ${}0$.
4. ${}f$ ist in ${}a$ meromorph, aber nicht holomorph.

Beweis

Es sei (1) erfüllt, d.h. dass

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g$ auf ${}U$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann divergiert ${}\vert {f(z)}\vert$ für ${}z\rightarrow a$ gegen ${}\infty$, da ja der Zähler konvergiert und der Nenner dieses Verhalten besitzt. Dies ergibt (2). Von (2) nach (1). Wir betrachten die Funktion ${}{\frac {1}{f}}$ auf einer offenen Kreisscheibe von ${}a$, worauf ${}f$ keine Nullstelle besitzt. Dies ist eine holomorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe, deshalb gibt es eine beschreibende Laurent-Reihe,

${}{\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}(z-a)^{k}\,.$

Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}{\frac {1}{f(z)}}$ für ${}z\rightarrow a$ gegen ${}0$ konvergiert. Daher ist nach Satz 14.5 ${}{\frac {1}{f}}$ eine holomorphe Funktion, d.h.

${}{\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {N} }d_{k}(z-a)^{k}=(z-a)^{m}g(z)\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g(z)$ mit ${}g(a)\neq 0$, ${}m\geq 1$. Durch invertieren folgt

${}f(z)=(z-a)^{-m}{\frac {1}{g}}\,,$

wobei der rechte Faktor auf einer offenen Umgebung von ${}a$ definiert und holomorph ist.

Von (1) nach (3). Aus der Darstellung

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$

aus (1) in Verbindung mit der Potenzreihenentwicklung

${}g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k}\,$

ergibt sich

${}f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k-n}\,.$

Unterhalb von Index ${}-n$ sind alle Koeffizienten gleich ${}0$, und einer der Koeffizienten zu einem negativen Index muss ${}\neq 0$ sein, sonst wäre ${}f$ holomorph. Dies ergibt (3). Von (3) nach (1) ist klar, da man ja eine Laurent-Darstellung der Form

${}f(z)=\sum _{k=-n}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}\,$

mit ${}(z-a)^{n}$ multiplizieren kann, um eine holomorphe Funktion in ${}a$ zu erreichen.

Die Äquivalenz von (2) und (4) ergibt sich unmittelbar aus der Definition für meromorph.

$\Box$

Meromorphe Funktionen

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Eine meromorphe Funktion auf ${}U$ ist gegeben durch eine diskrete Menge ${}D\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion

$f\colon U\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

derart, dass für jedes ${}w\in D$ der Limes ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)$ in ${}{\mathbb {C} }$ existiert oder gleich ${}\infty$ ist.

Mit der Formulierung

${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)=\infty \,$

meint man, dass

${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,\vert {f(z)}\vert =+\infty \,$

gilt, und damit meint man, dass es zu jedem ${}B\in \mathbb {R}$ ein ${}R\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass für alle ${}z\in U{\left(w,R\right)}$ die Abschätzung

${}\vert {f(z)}\vert \geq B\,$

gilt. Dies ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}z_{n}$, die gegen ${}w$ konvergiert, die Bildfolge ${}\vert {f(z_{n})}\vert$ bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert. Typische Beispiele für dieses Verhalten sind die inversen Potenzfunktionen ${}{\frac {1}{z^{n}}}$ mit ${}n\geq 1$.

Man identifiziert meormorphe Funktionen ${}f$ und ${}g$ auf ${}U$, wenn es eine diskrete Teilmenge ${}D\subseteq U$ derart gibt, dass beide Funktionen auf ${}U\setminus D$ holomorph sind und dort übereinstimmen. Für jede meromorphe Funktion ${}f$ gibt es eine kleines diskrete Menge derart, dass ${}f$ außerhalb davon definiert ist, siehe Aufgabe 17.7. Meromorphe Funktionen ${}f$ und ${}g$ werden miteinander addiert bzw. multipliziert, indem man zu einer Menge ${}U\setminus D$ übergeht, auf der beide holomorph sind, und dort die Operationen ausführt.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit ${}g\neq 0$.

Dann ist ${}f/g$ eine meromorphe Funktion auf ${}U$.

Beweis

Nach Satz 14.6 ist die Nullstellenmenge von ${}g$ diskret. Außerhalb der Nullstellenmenge ist ${}f/g$ eine holomorphe Funktion. Es sei ${}g(P)=0$ und sei ${}P\in V\subseteq U$ eine offene Umgebung, auf der ${}g$ außer ${}P$ keine Nullstelle besitzt und auf der ${}g$ durch eine Potenzreihe beschreibbar ist. Die beschreibende Potenzreihe hat die Gestalt

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}=(z-P)^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}(z-P)^{m}\right)}=(z-P)^{k}h(z)\,$

mit ${}k\geq 1$ und ${}c_{k}\neq 0$. Hierbei ist ${}h$ eine holomorphe Funktion mit ${}h(P)\neq 0$, also ist auch ${}{\frac {1}{h}}$ holomorph in einer offenen Umgebung ${}W\subseteq V$ von ${}P$. Auf ${}W\setminus \{P\}$ ist

${}{\frac {f}{g}}={\frac {f}{(z-P)^{k}h}}={\frac {1}{(z-P)^{k}}}\cdot {\frac {f}{h}}\,,$

wobei ${}{\frac {f}{h}}$ einen wohldefinierten Limes für ${}z\rightarrow P$ besitzt. Es geht also nur noch um das Limesverhalten von ${}\vert {\frac {1}{w^{k}}}\vert$ für ${}w\rightarrow 0$. Dieser Limes ist aber ${}\infty$.

$\Box$

Insbesondere sind rationale Funktionen meromorphe Funktionen auf ${}{\mathbb {C} }$. Die Funktion

${}{\frac {1}{e^{z}}}=e^{-z}\,$

ist holomorph, aber nicht rational, die Funktion ${}{\frac {1}{\sin z}}$ ist meromorph, aber nicht holomorph und auch nicht rational. Es ist eine nichttriviale Aussage, dass man jede meromorphe Funktion als einen Quotienten von zwei holomorphen Funktionen auf ${}U$ schreiben kann.

Die folgende Aussage heißt Identitätssatz für meromorphe Funktionen.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorphe Funktionen auf ${}U$. Es sei ${}D$ die Menge der Polstellen von ${}f$ oder von ${}g$. Die Übereinstimmungsmenge ${}{\left\{z\in U\setminus D\mid f(z)=g(z)\right\}}$ habe einen Häufungspunkt in ${}U$.

Dann ist ${}f=g$.

Beweis

Siehe Aufgabe 17.21.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.

Dann ist die Menge der meromorphen Funktionen auf ${}G$ mit den natürlichen Verknüpfungen ein Körper.

Beweis

Es ist klar, dass ein kommutativer Ring vorliegt. Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$ auf ${}G$, die auf ${}G\setminus D$ holomorph sei. Nach Satz 14.6 ist die Nullstellenmenge ${}E$ von ${}f$ innerhalb von ${}G\setminus D$ diskret. Somit ist ${}f^{-1}$ auf ${}G\setminus {\left(D\cup E\right)}$ nach Lemma 1.7 holomorph und aus den Nullstellen von ${}f$ werden Polstellen und umgekehrt.

$\Box$

Laurent-Entwicklung einer meromorphen Funktion

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$. Es sei ${}P\in U$. Man nennt die Laurent-Entwicklung der auf einer offenen Kreisscheibenumgebung ${}U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\subseteq U$ definierten holomorphen Funktion ${}f$ in ${}P$ die Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}P$.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$ und ${}P\in U$.

Dann besitzt die Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}P$ die Form ${}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}$ mit einem ${}k\in \mathbb {Z}$.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 17.5.

$\Box$

Dieser Sachverhalt ermöglicht die folgende Definition.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$. Es sei ${}P\in U$ und sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}P$. Dann nennt man das minimale ${}k$ mit ${}c_{k}\neq 0$ die Ordnung von ${}f$ in ${}P$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ bezeichnet.

Bemerkung  

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$ und ${}P\in U$ ein Punkt. Die Ordnung von ${}f$ in ${}P$ ist eine ganze Zahl, man spricht auch von der Nullstellenordnung, wobei diese Bezeichnung insbesondere bei positiver Ordnung verwendet wird. Die Ordnung ist ${}\geq 0$ genau dann, wenn ${}f$ holomorph in ${}P$ ist. Anderfalls ist die Ordnung negativ und es liegt ein Pol vor. In diesem Fall nennt man das Negative der (negativen) Ordnung die Polordnung von ${}f$ in ${}P$, diese ist also positiv. Wenn man von einem Pol der Ordnung ${}5$ spricht, so meint man, dass ein Pol der Polordnung ${}5$ vorliegt, die Ordnung ist also ${}-5$.

Beispiel

Der Tangens

${}\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}\,$

ist nach Lemma 17.7 eine meromorphe Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$. Die Nullstellen des Kosinus sind ${}{\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$, da der Sinus in diesen Punkten keine Nullstelle besitzt, hat der Tangens in diesen Punkten einen Pol. Da die Nullstellenordnung des Kosinus in den Nullstellen gleich ${}1$ ist, ist die Polstellenordnung des Tangens gleich ${}1$, der Tangens besitzt also in diesen Punkten die Ordnung ${}-1$. In den Punkten ${}\mathbb {Z} \pi$, den Nullstellen des Sinus, besitzt der Tangens die Ordnung ${}1$, in allen weiteren Punkten die Ordnung ${}0$.

Die Konzepte Hauptteil und Nebenteil einer Laurent-Reihe sind insbesondere für meromorphe Funktionen relevant.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf ${}U$ mit der Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}(z-P)^{n}=\sum _{n=k}^{-1}c_{n}(z-P)^{n}$ den Hauptteil der Funktion in ${}P$.

Der Hauptteil einer meromorphen Funktion in einem Punkt ${}P$ ist insbesondere ein Laurent-Polynom.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf ${}U$ mit der Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ nennt man ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}(z-P)^{n}$ den Nebenteil der Funktion in ${}P$.

<< | Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024) | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)