Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 2

Biholomorphe Funktionen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und zusammenhängend und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine differenzierbare Funktion. Im reellen Fall ist dann ${}U$ einfach ein offenes Intervall, und diese sind alle untereinander homöomorph. Dagegen gibt es im komplexen Fall eine Vielzahl an offenen Mengen, und es ist ein Bestreben der Funktionentheorie zu verstehen, wann diese zueinander homöomorph (bzw. diffeomorph oder biholomorph) sind. Es gibt eine erstaunliche enge Beziehung zwischen offenen Mengen in ${}{\mathbb {C} }$ und den auf ihr definierten komplex-differenzierbaren Funktionen. Dabei kann man sich stets auf den zusammenhängenden Fall zurückziehen, weshalb der folgende Begriff verwendet wird.

Definition

Eine zusammenhängende offene Teilmenge ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt Gebiet.

Definition

Eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow V$ zwischen offenen Mengen ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt biholomorph, wenn sie bijektiv und ihre Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist.

Zwei offene Mengen heißen biholomorph, wenn es eine biholomorphe Abbildung zwischen ihnen gibt. Eine biholomorphe Abbildung von ${}U$ auf sich selbst nennt man auch einen (biholomorphen) Automorphismus.

Beispiel

Zu komplexen Zahlen ${}u,v\in {\mathbb {C} }$ mit ${}u\neq 0$ ist die affin-lineare Abbildung

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto uz+v,

biholomorph. Die Ableitung ist konstant gleich ${}u$ , die Umkehrabbildung ist ebenfalls affin-linear, das gilt ja für jeden Körper.

Es gilt sogar, dass diese affin-linearen Abbildungen die einzigen biholomorphen Abbildungen von ${}{\mathbb {C} }$ in sich sind, siehe Satz 18.8.

Gebrochen-lineare Funktionen

Definition

Zu komplexen Zahlen ${}a,b,c,d\in {\mathbb {C} }$ mit

{}ad-bc\neq 0\,

nennt man die Abbildung

{\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},

eine gebrochen-lineare Funktion.

Es handelt sich um eine rationale Funktion, bei der Zähler und Nenner affin-lineare Polynome sind. Bei ${}c=0$ ist sie auf ganz ${}{\mathbb {C} }$ definiert, andernfalls ist sie im einzigen Punkt ${}-{\frac {d}{c}}$ nicht definiert. Man spricht auch von einer Möbius-Transformation, wobei dies hauptsächlich dann verwenden wird, wenn man die Abbildung auf die riemannsche Zahlenkugel fortsetzt. Die Bedingung ${}ad-bc\neq 0$ bedeutet, dass die Determinante der Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ nicht ${}0$ ist, was nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) dazu äquivalent ist, dass die Matrix invertierbar ist. Dies sichert, dass eine nicht konstante Funktion vorliegt. Eine solche invertierbare Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ definiert also die gebrochen-lineare Funktion ${}z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ . Wir wollen die Beziehung zwischen diesen Matrizen und den zugehörigen gebrochen-linearen Funktionen verstehen. Eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}$ geht dabei auf die affin-lineare Abbildung ${}z\mapsto {\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}$ , insbesondere geht eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}$ auf die komplexe Multiplikation mit ${}a$ , und eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}$ auf die Verschiebung ${}z\mapsto z+b$ , und die Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ geht auf die komplexe Invertierung ${}z\mapsto z^{-1}$ .

Lemma

Die Abbildung

\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Rat} ({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }),\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\left(z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\right)},

die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit ${}s\neq 0$ besteht.

Beweis

Es sei ${}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}$ eine zweite Matrix, die zugehörigen linear-gebrochen Funktionen seien ${}\varphi$ und ${}\psi$ . Dann ist

{}{\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}\\&={\frac {e{\frac {az+b}{cz+d}}+f}{g{\frac {az+b}{cz+d}}+h}}\\&={\frac {e{\left(az+b\right)}+f{\left(cz+d\right)}}{g{\left(az+b\right)}+h{\left(cz+d\right)}}}\\&={\frac {{\left(ae+cf\right)}z+be+df}{{\left(ag+ch\right)}z+bg+dh}}.\end{aligned}}

Dies ist die gebrochen-lineare Funktion, die zur Produktmatrix

{}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+dh\end{pmatrix}}\,

gehört.

Zu einer Streckungsmatrix ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ gehört die gebrochen-lineare Funktion ${}z\mapsto {\frac {sz}{s}}=z$ , also die Identität. Es sei ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ eine invertierbare Matrix derart, dass die zugehörige gebrochen-lineare Funktion ${}\varphi$ die Identität ist. Dann ist insbesondere

{}\varphi (0)={\frac {b}{d}}=0\,,

woraus ${}b=0$ folgt. Aus

{}\varphi (1)={\frac {a}{c+d}}=1\,

und

{}\varphi (2)={\frac {2a}{2c+d}}=2\,

folgt ${}c=0$ und dann auch ${}a=d$ .

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Korollar

Jede gebrochen-lineare Funktion ${}z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ mit ${}c\neq 0$

definiert eine biholomorphe Funktion

${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{{\frac {a}{c}}\}.$

Beweis

Die inverse Matrix zu ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist ${}{\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$ , nach Lemma 2.5 ist die Umkehrabbildung zur durch die Matrix gegebene gebrochen-lineare Funktion gleich der gebrochen-linearen Funktion zur inverse Matrix. Insbesondere gibt es also eine Umkehrabbildung von der gleichen Bauart, wobei die inverse Abbildung in ${}{\frac {a}{c}}$ nicht definiert ist. Allerdings müssen wir noch begründen, dass dieser Punkt nicht getroffen wird, damit die beiden Abbildungen außerhalb des jeweils einen Punktes zusammenpassen. Betrachten wir also die Gleichung

{}{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}\,,

die zu

{}(az+b)c=a(cz+d)\,

bzw. zu

{}{\left(ac-ac\right)}z=ad-bc\,

äquivalent ist, die keine Lösung besitzt.

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Lemma

Jede gebrochen-lineare Funktion

kann man als eine Hintereinanderschaltung einer Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}\neq 0$ , einer Verschiebung mit einer komplexen Zahl und der Invertierungsfunktion schreiben.

Beweis

Wegen Lemma 2.5 folgt dies aus der Faktorisierung einer invertierbaren Matrix in eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und in Elementarmatrizen.

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Lemma

Es seien ${}z_{1},z_{2},z_{3}$ verschiedene komplexe Zahlen.

Dann bildet die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}$ gegebene gebrochen-lineare Funktion den Punkt ${}z_{1}$ auf ${}0$ und den Punkt ${}z_{2}$ auf ${}1$ ab und ist im Punkt ${}z_{3}$ nicht definiert.

Beweis

Die zu ${}{\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}$ zugehörige gebrochen-lineare Funktion ${}\varphi$ ist durch

z\longmapsto {\frac {(z_{2}-z_{3})z-z_{1}(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{1})z-z_{3}(z_{2}-z_{1})}}={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}

gegeben. Dies ist offenbar im Punkt ${}z_{3}$ nicht definiert. Ferner ist

{}\varphi (z_{1})=0\,

und

{}\varphi (z_{2})={\frac {(z_{2}-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}=1\,.

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Halbebene und Kreisscheibe

Definition

Unter der oberen Halbebene in ${}{\mathbb {C} }$ versteht man

{}{\mathbb {H} }={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}>0\right\}}\,.

Die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ und Radius ${}r$ bezeichnen wir mit ${}U{\left(P,r\right)}$ . Speziell ist ${}U{\left(0,1\right)}$ die offene Einheitskreisscheibe.

Lemma

Die Abbildungen

\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},

und

\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},

sind zueinander inverse biholomorphe Abbildungen zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ .

Beweis

${}\varphi$ ist wegen ${}-{\mathrm {i} }\notin {\mathbb {H} }$ auf ${}{\mathbb {H} }$ definiert. Wir zeigen

{}\vert {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}\vert <1\,,

was zu

{}\vert {z-{\mathrm {i} }}\vert <\vert {z+{\mathrm {i} }}\vert \,

äquivalent ist. Mit ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist dies äquivalent zu

{}a^{2}+(b+1)^{2}>a^{2}+(b-1)^{2}\,,

was wiederum äquivalent zu

{}b^{2}+2b+1>b^{2}-2b+1\,

ist, was wegen ${}b>0$ stimmt.

Für ${}\vert {w}\vert <1$ ist direkt ${}1-w\neq 0$ , daher ist ${}\psi$ definiert. Sei ${}w=c+d{\mathrm {i} }$ mit ${}c^{2}+d^{2}<1$ . Dann ist

{}{\begin{aligned}{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}&={\frac {(c+1+d{\mathrm {i} }){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d+(c+1){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d+(c+1){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {1-c+d{\mathrm {i} }}{1-c+d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d(1-c)-d(c+1)+((1+c)(1-c)-d^{2}){\mathrm {i} }}{(1-c)^{2}+d^{2}}}.\end{aligned}}

Da der Nenner eine positive reelle Zahl ist, ist der Imaginärteil dieser Zahl wegen

{}1-c^{2}-d^{2}>0\,

positiv, also liegt das Bild von ${}\psi$ in ${}{\mathbb {H} }$ .

Wir berechnen nun die Hintereinanderschaltungen. Es ist

{}{\begin{aligned}\varphi (\psi (w))&=\varphi \left({\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}\right)\\&={\frac {{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}-{\mathrm {i} }}{{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}+{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {(w+1){\mathrm {i} }-(1-w){\mathrm {i} }}{(w+1){\mathrm {i} }+(1-w){\mathrm {i} }}}\\&={\frac {2w{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}\\&=w\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}\right)}\\&={\frac {{\left({\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-{\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}}}\\&={\frac {(z-{\mathrm {i} }+z+{\mathrm {i} }){\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }-(z-{\mathrm {i} })}}\\&={\frac {2z{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}\\&=z.\end{aligned}}

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Lemma

Die Abbildung

\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus {\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 0,\,\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0\right\}},\,z\longmapsto -z^{2},

ist eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der längs der negativen reellen Achse geschlitzten komplexen Ebene.

Beweis

Siehe Aufgabe 2.19.

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Kreisringe

Definition

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}0\leq r<R$ reelle Zahlen. Unter dem offenen Kreisring versteht man die Menge

{}U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.

Es wird also aus einer größeren offenen Kreisscheibe eine kleinere konzentrische abgeschlossene Kreisscheibe herausgenommen. Die Offenheit beruht auf der Beschreibung

{}U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\cap {\left({\mathbb {C} }\setminus B\left(a,r\right)\right)}\,.

Statt Kreisring sagt man auch Annulus. Die reellen Zahlen ${}r$ und ${}R$ heißen die Radien des Kreisringes, oft erlaubt man für den oberen Radius auch ${}\infty$ . Der Fall ${}r=0$ ist ausdrücklich erlaubt, dann wird nur der eine Punkt ${}\{a\}$ herausgenommen. Häufig nimmt man ${}0$ als Mittelpunkt, dann schreibt man einfach ${}U(r,R)$ .

Definition

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}r>0$ eine reelle Zahl. Unter der punktierten Kreisscheibe (mit Mittelpunkt ${}a$ und Radius ${}r$ ) versteht man die Menge

U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}.

Die punktierte Kreisscheibe ist ein spezieller offener Kreisring, wobei der kleinere Radius gleich ${}0$ ist.

Lemma

Jeder offene Kreisring ${}U(a,r,R)$ , ${}R\in \mathbb {R} _{+}$ ,

ist biholomorph zu einem Kreisring der Form ${}U(0,s,1)$ mit

${}0\leq s={\frac {r}{R}}<1\,.$

Beweis

Durch eine Verschiebung erhält man den offenen Kreisring ${}U(0,r,R)$ . Durch Multiplikation mit ${}{\frac {1}{R}}$ geht dieser in den Kreisring ${}U(0,{\frac {r}{R}},1)$ über.