Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 44

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper , die beide gegen konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge eine Nullfolge ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Zu sei die rationale Folge folgendermaßen definiert: Es sei

die größte Zahl mit und mit . Zeige, dass die Folge eine Dezimalbruchfolge ist.


Aufgabe *

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.11.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei ein abgeschlossenes Intervall in . Es sei eine Folge in mit für alle . Die Folge konvergiere gegen . Zeige .


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass bei einer Folge in einem angeordneten Körper die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert.


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli Ungleichung den Grenzwert der Folge


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 13.22 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper, in dem die Wurzeln zu existieren. Zeige, dass die Folge ab streng fallend ist.


Aufgabe *

Zu sei die Summe der ungeraden Zahlen bis und die Summe der geraden Zahlen bis . Entscheide, ob die Folge

in konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe *

Es sei

  1. Finde das kleinste mit
  2. Finde das kleinste mit


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und seien . Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe

Zeige analog zu Beispiel 44.13, dass das (gliedweise) Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche , gegen konvergiert.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und seien rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und seien verschiedene Punkte aus . Zeige, dass es Intervalle und mit positiver Länge, mit , und mit gibt.


Aufgabe *

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige

für alle .


Aufgabe *

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder stets eine nichtkonstante Folge entsteht.


Aufgabe *

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen und in einem angeordneten Körper mit , , und mit derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die beiden Reihen

divergieren.



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