Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 47

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körper-Isomorphismus

die Identität ist.


Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.


Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und eine Folge in . Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten und rekursiv durch

und

  1. Zeige, dass wachsend ist.
  2. Zeige, dass fallend ist.
  3. Zeige

    Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass man die alternierende Folge nicht als Summe

schreiben kann, wenn und beschränkte und monotone Folgen sind.


Aufgabe

Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .


Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().


Aufgabe

Sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch

eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.


Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


龜-bronze.svg

Aufgabe

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ) hat einen Vorsprung gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit und dem Startpunkt ). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle . Wenn Achilles an der Stelle ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle , u.s.w.

Berechne die Folgenglieder , die zugehörigen Zeitpunkte , sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Folge mit konvergiert (ohne explizit ihren Grenzwert zu berechnen).


Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe *

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Es sei ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge heißt ein Abschnitt, wenn für alle mit und jedes mit auch ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in , der kein Intervall ist.

Zeige, dass in jeder Abschnitt ein Intervall ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und eine Cauchy-Folge in . Zeige, dass man

mit einer wachsenden und einer fallenden Cauchy-Folge und schreiben kann.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine konvergente Folge mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


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