Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 47

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei die dadurch gegebene Folge.

  1. Kann gegen eine von verschiedene Zahl konvergieren?
  2. Muss gegen konvergieren?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körper-Isomorphismus

die Identität ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein Ring mit und

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe

Es sei und .

  1. Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.
  2. Sei zusätzlich . Zeige, dass genau dann irrational ist, wenn irrational ist.


Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Aufgabe

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.


Aufgabe *

Es sei eine irrationale Zahl und sei

  1. Zeige, dass eine Untergruppe von ist.
  2. Zeige, dass es kein Element mit

    gibt.

  3. Zeige, dass es in kein positives minimales Element gibt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und eine Folge in . Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten und rekursiv durch

und

  1. Zeige, dass wachsend ist.
  2. Zeige, dass fallend ist.
  3. Zeige

    Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass man die alternierende Folge nicht als Summe

schreiben kann, wenn und beschränkte und monotone Folgen sind.


Aufgabe *

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede wachsende, nach oben beschränkte Folge in konvergiert. Zeige, dass vollständig ist.


Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch


Aufgabe

Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .


Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().


Aufgabe

Sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch

eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.


Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.


Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.


Aufgabe *

Sei und sei

die reelle Zahl mit Periodenlänge (die Periode besteht aus Nullen und einer ). Sei

mit . Zeige


龜-bronze.svg

Aufgabe

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ) hat einen Vorsprung gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit und dem Startpunkt ). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle . Wenn Achilles an der Stelle ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle , u.s.w.

Berechne die Folgenglieder , die zugehörigen Zeitpunkte , sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Folge mit konvergiert.


Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Dezimalbruchfolge in konvergiert. Zeige, dass vollständig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Die Teilmenge

ist ein Körper. Zeige, dass es einen von der Identität verschiedenen bijektiven Ringhomomorphismus

gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und eine Cauchy-Folge in . Zeige, dass man

mit einer wachsenden Cauchy-Folge und einer fallenden Cauchy-Folge schreiben kann.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine konvergente Folge mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.



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