Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Vorlesung 44

Beispiele für Folgen

Definition

Eine Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ in einem angeordneten Körper, die gegen $0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

Beispiel

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge

x_{n} = \frac{1}{n}

konvergent mit dem Grenzwert $0$ . Es sei dazu ein beliebiges $ϵ \in K$ , $ϵ > 0$ , vorgegeben. Aufgrund des Archimedes-Axioms (siehe Lemma 25.8) gibt es ein $n_{0}$ mit

\frac{1}{n_{0}} \leq ϵ .

Damit gilt für alle $n \geq n_{0}$ die Abschätzung

x_{n} = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_{0}} \leq ϵ .

Beispiel

Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern

x_{n} = \frac{7 n}{2^{n}}

in $ℚ$ . Die Anfangsglieder sind

0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2}, \frac{21}{8}, \frac{7}{4}, \frac{35}{32}, \frac{21}{32}, \frac{49}{128}, \frac{7}{32} \dots .

In der Tat ist dies eine Nullfolge. Nach Satz 27.12 gibt es nämlich ein $m$ derart, dass

2^{n} \geq n^{2}

für alle $n \geq m$ gilt. Für diese $n$ ist somit

\frac{7 n}{2^{n}} \leq \frac{7 n}{n^{2}} = \frac{7}{n} .

Zu einem vorgegebenen $ϵ > 0$ kann man zusätzlich noch $n \geq \frac{7}{ϵ}$ erreichen, daher sind diese $x_{n}$ kleinergleich $ϵ$ .

Bemerkung

Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form

x_{n} = \frac{a_{n}}{1 0^{n}} = \sum_{i = 0}^{n} z_{- i} 1 0^{- i} = z_{0}, z_{- 1} z_{- 2} z_{- 3} \dots z_{- n}

mit $a_{n} \in ℤ$ (bzw. mit Ziffern $z_{- i} \in {0, 1, \dots, 9}$ ) und mit

\frac{a_{n}}{1 0^{n}} \leq \frac{a_{n + 1}}{1 0^{n + 1}} < \frac{a_{n} + 1}{1 0^{n}} .

Eine solche Folge, also eine „Kommazahl“, muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen $a, b$ starten und den Divisionsalgorithmus $a : b$ durchführen, um die Ziffern $z_{- i}$ zu erhalten, so konvergiert nach Korollar 28.11 die zugehörige Dezimalbruchfolge

x_{n} = \sum_{i = 0}^{n} z_{- i} 1 0^{- i}

gegen die rationale Zahl $\frac{a}{b}$ .

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Folge in $K$ .

Dann besitzt $x_{n}$ maximal einen Grenzwert.

Beweis

Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte $x, y$ , $x \neq y$ , gibt. Dann ist $d := | x - y | > 0$ . Wir betrachten $ϵ := d / 3 > 0$ . Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_{0}$ mit

| x_{n} - x | \leq ϵ für alle n \geq n_{0}

und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein ${n_{0}}^{'}$ mit

| x_{n} - y | \leq ϵ für alle n \geq {n_{0}}^{'} .

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für $n \geq max {n_{0}, {n_{0}}^{'}}$ . Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

d = | x - y | \leq | x - x_{n} | + | x_{n} - y | \leq ϵ + ϵ = 2 d / 3 .

◻

Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Folge in $K$ . Die Folge $x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element $B \in K$ mit

| x_{n} | \leq B für alle n \in ℕ

gibt.

Rechenregeln für Folgen

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in $K$ konvergent ist,

so ist sie auch beschränkt.

Beweis

Es sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ die konvergente Folge mit dem Limes $x \in K$ und es sei ein $ϵ > 0$ gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_{0}$ derart, dass

| x_{n} - x | \leq ϵ für alle n \geq n_{0} .

Dann ist insbesondere

| x_{n} | \leq | x | + | x - x_{n} | \leq | x | + ϵ für alle n \geq n_{0} .

Unterhalb von $n_{0}$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum

B := max_{n < n_{0}} {| x_{n} |, | x | + ϵ}

wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für ${x_{n} ∣ n \in ℕ}$ .

◻

Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist die alternierende Folge

x_{n} = (- 1)^{n}

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte $1$ und $- 1$ vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass $x \geq 0$ der Grenzwert sei. Dann gilt für positives $ϵ < 1$ und jedes ungerade $n$ die Beziehung

| x_{n} - x | = 1 + x \geq 1 > ϵ,

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $ϵ$ -Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommenen Grenzwert zum Widerspruch führen.

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Nullfolge und ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ eine beschränkte Folge in $K$ .

Dann ist auch das Produkt der beiden Folgen eine Nullfolge.

Beweis

Es sei $B > 0$ eine Schranke für ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ und sei $ϵ > 0$ vorgegeben. Da ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Nullfolge ist, gibt es zu $\frac{ϵ}{B}$ ein $n_{0}$ derart, dass für $n \geq n_{0}$ die Abschätzung $| x_{n} | \leq \frac{ϵ}{B}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch

| x_{n} y_{n} | = | x_{n} | \cdot | y_{n} | \leq \frac{ϵ}{B} \cdot B = ϵ .

◻

Wie bei einer Dezimalbruchfolge, die man ja (mit den Ziffern $z_{- i}$ ) als

x_{n} = \sum_{i = 0}^{n} z_{- i} 1 0^{- i}

schreiben kann, wird eine Folge oft als eine Summe in der Form

x_{n} = \sum_{i = 0}^{n} u_{i}

gegeben. Die Folgenglieder sind also die Teilsummen, die sich aus den einzelnen Summanden ergeben. Solche Folgen nennt man auch Reihen und die $u_{i}$ nennt man die Reihenglieder. Wir betonen, dass sich alle Folgeneigenschaften auf die Folgenglieder beziehen. Man schreibt für solche Reihen auch kurz $\sum_{n = 0}^{\infty} u_{n}$ .

Die sogenannte harmonische Reihe ist nicht beschränkt und konvergiert nicht.

Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} .

Es geht also um die „unendliche Summe“ der Stammbrüche

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \dots .

Diese Reihe divergiert: Für die $2^{n}$ Zahlen $k = 2^{n} + 1, \dots, 2^{n + 1}$ ist

\sum_{k = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}} \frac{1}{k} \geq \sum_{k = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}} \frac{1}{2^{n + 1}} = 2^{n} \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2} .

Daher ist

\sum_{k = 1}^{2^{n + 1}} \frac{1}{k} = 1 + \sum_{i = 0}^{n} (\sum_{k = 2^{i} + 1}^{2^{i + 1}} \frac{1}{k}) \geq 1 + (n + 1) \frac{1}{2} .

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 44.8 nicht konvergent sein.

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ konvergente Folgen in $K$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Die Folge ${(x_{n} + y_{n})}_{n \in ℕ}$ ist konvergent und es gilt
$lim_{n \to \infty} (x_{n} + y_{n}) = (lim_{n \to \infty} x_{n}) + (lim_{n \to \infty} y_{n}) .$

Die Folge ${(x_{n} \cdot y_{n})}_{n \in ℕ}$ ist konvergent und es gilt
$lim_{n \to \infty} (x_{n} \cdot y_{n}) = (lim_{n \to \infty} x_{n}) \cdot (lim_{n \to \infty} y_{n}) .$

Für $c \in K$ gilt
$lim_{n \to \infty} c x_{n} = c (lim_{n \to \infty} x_{n}) .$

Es sei $lim_{n \to \infty} x_{n} = x \neq 0$ und $x_{n} \neq 0$ für alle $n \in ℕ$ . Dann ist ${(\frac{1}{x_{n}})}_{n \in ℕ}$ ebenfalls konvergent mit
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_{n}} = \frac{1}{x} .$

Es sei $lim_{n \to \infty} x_{n} = x \neq 0$ und $x_{n} \neq 0$ für alle $n \in ℕ$ . Dann ist ${(\frac{y_{n}}{x_{n}})}_{n \in ℕ}$ ebenfalls konvergent mit
$lim_{n \to \infty} \frac{y_{n}}{x_{n}} = \frac{lim_{n \to \infty} y_{n}}{x} .$

Beweis

(2). Sei $ϵ > 0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ ist nach Lemma 44.8 insbesondere beschränkt und daher existiert ein $D > 0$ mit $| x_{n} | \leq D$ für alle $n \in ℕ$ . Sei $x := lim_{n \to \infty} x_{n}$ und $y := lim_{n \to \infty} y_{n}$ . Wir setzen $C := max {D, | y |}$ . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen $N_{1}$ und $N_{2}$ mit

| x_{n} - x | \leq \frac{ϵ}{2 C} für n \geq N_{1} und | y_{n} - y | \leq \frac{ϵ}{2 C} für n \geq N_{2} .

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle $n \geq N := max {N_{1}, N_{2}}$ . Für diese Zahlen gilt daher

\begin{matrix} | x_{n} y_{n} - x y | & = | x_{n} y_{n} - x_{n} y + x_{n} y - x y | \\ \leq | x_{n} y_{n} - x_{n} y | + | x_{n} y - x y | \\ = | x_{n} | | y_{n} - y | + | y | | x_{n} - x | \\ \leq C \frac{ϵ}{2 C} + C \frac{ϵ}{2 C} \\ = ϵ . \end{matrix}

(4). Da der Limes der Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ nicht $0$ ist, gilt für $n \geq N_{1}$ die Bedingung $| x_{n} | \geq \frac{| x |}{2}$ und damit

\frac{1}{| x_{n} |} \leq \frac{2}{| x |} .

Es sei $ϵ > 0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ gibt es ein $N_{2}$ mit

| x_{n} - x | \leq \frac{ϵ | x |^{2}}{2} für alle n \geq N_{2} .

Dann gilt für alle $n \geq N := max {N_{1}, N_{2}}$ die Abschätzung

| \frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x} | = | \frac{x_{n} - x}{x x_{n}} | = \frac{1}{| x | | x_{n} |} | x_{n} - x | \leq \frac{2}{| x |^{2}} \cdot \frac{ϵ | x |^{2}}{2} = ϵ .

◻

Die im vorstehenden Satz auftretenden Folgen nennt man die Summenfolge, die Produktfolge bzw. die Quotientenfolge. Sie sind jeweils gliedweise definiert.

Beispiel

Es sei $r \leq s$ . Bei einer Folge der Form

x_{n} = \frac{a_{r} n^{r} + a_{r - 1} n^{r - 1} + \dots + a_{2} n^{2} + a_{1} n + a_{0}}{b_{s} n^{s} + b_{s - 1} n^{s - 1} + \dots + b_{2} n^{2} + b_{1} n + b_{0}}

mit $a_{i}, b_{j}$ in einem archimedisch angeordneten Körper und $a_{r}, b_{s} \neq 0$ kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit $n^{- s}$ und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung

\begin{matrix} x_{n} & = \frac{\frac{a_{r} n^{r} + a_{r - 1} n^{r - 1} + \dots + a_{2} n^{2} + a_{1} n + a_{0}}{n^{s}}}{\frac{b_{s} n^{s} + b_{s - 1} n^{s - 1} + \dots + b_{2} n^{2} + b_{1} n + b_{0}}{n^{s}}} \\ = \frac{\frac{a_{r} n^{r}}{n^{s}} + \frac{a_{r - 1} n^{r - 1}}{n^{s}} + \dots + \frac{a_{2} n^{2}}{n^{s}} + \frac{a_{1} n}{n^{s}} + \frac{a_{0}}{n^{s}}}{\frac{b_{s} n^{s}}{n^{s}} + \frac{b_{s - 1} n^{s - 1}}{n^{s}} + \dots + \frac{b_{2} n^{2}}{n^{s}} + \frac{b_{1} n}{n^{s}} + \frac{b_{0}}{n^{s}}} \\ = \frac{\frac{a_{r}}{n^{s - r}} + \frac{a_{r - 1}}{n^{s - r - 1}} + \dots + \frac{a_{2}}{n^{s - 2}} + \frac{a_{1}}{n^{s - 1}} + \frac{a_{0}}{n^{s}}}{b_{s} + \frac{b_{s - 1}}{n} + \dots + \frac{b_{2}}{n^{s - 2}} + \frac{b_{1}}{n^{s - 1}} + \frac{b_{0}}{n^{s}}} . \end{matrix}

Nach Lemma 44.12 (1) konvergiert der Nenner gegen $b_{s}$ . da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei $s > r$ gegen $0$ und bei $s = r$ gegen $a_{r}$ . Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge gegen $\frac{a_{r}}{b_{r}}$ .

Beispiel

Zu jedem Element $x \in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ gibt es nach Korollar 28.10 eine eindeutig bestimmte Dezimalbruchfolge, die gegen $x$ konvergiert. Zu zwei Elementen $x$ und $y$ muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe $x + y$ nicht die (gliedweise genommene) Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl $\frac{7}{9}$ gleich

\frac{7}{10}, \frac{77}{100}, \frac{777}{1000}, \frac{7777}{10000}, \frac{77777}{100000}, \dots

und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl $\frac{8}{9}$ gleich

\frac{8}{10}, \frac{88}{100}, \frac{888}{1000}, \frac{8888}{10000}, \frac{88888}{100000}, \dots .

Die Summe dieser beiden Folgen ist

\frac{15}{10}, \frac{165}{100}, \frac{1665}{1000}, \frac{16665}{10000}, \frac{166665}{100000}, \dots .

Dagegen besitzt

\frac{7}{9} + \frac{8}{9} = \frac{15}{9}

die Dezimalbruchfolge

\frac{16}{10}, \frac{166}{100}, \frac{1666}{1000}, \frac{16666}{10000}, \frac{166666}{100000}, \dots .

Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen $\frac{15}{9}$ , sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ konvergente Folgen mit $x_{n} \geq y_{n}$ für alle $n \in ℕ$ .