Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 48/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Intervallschachtelung in ${}K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

$3,601473301....$

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge ${}10,1,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},{\frac {1}{10000}},{\frac {1}{100000}}$ und entsprechenden Grenzen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}x$ und ${}J_{n}=[c_{n},d_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für ${}x+y$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die ersten Intervalle ${}I_{n}$, ${}n=1,2,3,4,5$, in der Intervallhalbierung zu ${}{\sqrt[{3}]{20}}$, ausgehend von ${}I_{0}=[0,10]$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die ersten Intervalle ${}I_{n}$, ${}n=1,2,3,4,5$, in der Intervallhalbierung zu ${}{\sqrt[{7}]{\frac {2}{3}}}$, ausgehend von ${}I_{0}=[0,1]$. Was besagt das Ergebnis für die Ziffernentwicklung von ${}{\sqrt[{7}]{\frac {2}{3}}}$ im Zweiersystem?

Im jetzigen Kontext betrachte man auch nochmal Aufgabe 28.37, Aufgabe 28.38, Aufgabe 28.39.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

mit ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n$, wobei ${}a_{n}$ streng wachsend und ${}b_{n}$ streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge ${}T\subseteq K$ heißt ein Abschnitt, wenn für alle ${}a,b\in T$ mit ${}a\leq b$ und jedes ${}x\in K$ mit ${}a\leq x\leq b$ auch ${}x\in T$ ist.

Aufgabe Aufgabe 48.8 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ${}K$ ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in ${}\mathbb {Q}$, der kein Intervall ist.

Zeige, dass in ${}\mathbb {R}$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}M$ die Menge aller Intervallschachtelungen auf ${}K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen ${}I_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ und ${}J_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem ${}m\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}J_{n}\subseteq I_{m}$ und zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}I_{k}\subseteq J_{n}$.

1. Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ ist.
2. Sei ${}K=\mathbb {R}$. Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Inwiefern definiert eine rationale Zahl einen Dedekindschen Schnitt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Inwiefern definiert eine reelle Zahl einen Dedekindschen Schnitt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines Dedekindschen Schnittes vorkommen, ein Beispiel für ein Paar ${}(A,B)$ mit ${}A,B\subseteq \mathbb {Q}$, das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte.

Aufgabe Aufgabe 48.13 ändern

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt.

Aufgabe Aufgabe 48.14 ändern

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Multiplikation, die für rationale Schnitte mit der Multiplikation auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt ${}\neq 0$ einen inversen Schnitt besitzt.

Aufgabe Aufgabe 48.15 ändern

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine totale Ordnung, die für rationale Schnitte mit der Größergleichrelation auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmt.

Aufgabe Aufgabe 48.16 ändern

Zeige, dass die Menge der Dedekindschen Schnitte ein angeordneter Körper ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jeder Dedekindsche Schnitt in ${}K$ ein Punktschnitt ist. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Aufgabe Aufgabe 48.18 ändern

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und es seien ${}r,s$ nichtnegative reelle Zahlen mit

${}r^{n}<s\,.$

Zeige mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit

${}{\left(r+{\frac {1}{k}}\right)}^{n}<s\,$

gibt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Untersuche die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}\,$

auf Konvergenz.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Folge

${}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$

auf Konvergenz.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch ${}x_{0}=a$, ${}y_{0}=b$ und durch

$x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},$

$y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.$

Zeige, dass ${}[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.

Aufgabe * Aufgabe 48.22 ändern

Es sei ${}b\geq 1$ eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

${}x_{n}:=b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{b}}\,$

(mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$).

1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder ${}\geq 1$ sind.
3. Zeige, dass die Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne für die Folge

${}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

die ersten vier Glieder als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {1}{1000}}$ an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

${}{\binom {n}{k}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\leq {\frac {1}{k!}}\,,$

b)

${}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\leq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Für die Eulersche Zahl ${}e$ seien die Abschätzungen

${}2,71\leq e\leq 2,72\,$

bekannt.

1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{2}$ sagen?
2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ sagen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

$-7,35831149....$

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge ${}10,1,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},{\frac {1}{10000}},{\frac {1}{100000}}$ und entsprechenden Grenzen.

In der folgenden Aufgabe dürfen Sie annehmen, dass sich alles in ${}\mathbb {R} _{+}$ abspielt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}x$ und ${}J_{n}=[c_{n},d_{n}]$ eine Intervallschachtelung für ${}y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für ${}x\cdot y$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine reelle Zahl ${}x$ besitze die Ziffernentwicklung

$2,1278\ldots$

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von ${}1/x$ sagen?

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine reelle Zahl ${}x$ besitze die Ziffernentwicklung

$0{,}101001000100001000001\ldots$

im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme die Ziffernentwicklung von ${}1/x$ bis zur vierten Nachkommastelle.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ziffernentwicklung von

$0{,}{\overline {1}}\cdot 0{,}{\overline {1}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

${}a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\,$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne für die Folge

${}x_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\,$

die Glieder bis ${}x_{5}$ als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {1}{10000}}$ an.