Kurs:Körper- und Galoistheorie/4/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 4 3 5 9 3 6 7 5 4 7 3 62




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
  2. Eine algebraische Zahl .
  3. Zwei konjugierte Elemente in einer endlichen Körpererweiterung .
  4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
  5. Eine auflösbare Gruppe .
  6. Ein konstruierbares -Eck ().


Lösung

  1. Bei einer endlichen Körpererweiterung nennt man die -(Vektorraum-)Dimension von den Grad der Körpererweiterung.
  2. Eine Zahl heißt algebraisch, wenn es ein von verschiedenes Polynom gibt mit .
  3. Die Elemente heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.
  4. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller -Algebra-Automorphismen von , also
  5. Eine Gruppe heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

    gibt derart, dass ein Normalteiler in ist und die Restklassengruppe abelsch ist (für jedes ).

  6. Man sagt, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

    eine konstruierbare Zahl ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Bezout für zwei Elemente in einem Hauptidealbereich.
  2. Der Satz über den Zusammenhang zwischen Charakteren von und Automorphismen von -graduierten Körpererweiterungen .
  3. Der Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.


Lösung

  1. Sei ein Hauptidealbereich und seien zwei teilerfremde Elemente. Dann kann man die als Linearkombination von und darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
  2. Bei einer -graduierten Körpererweiterung gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

    der Charaktergruppe

    von in die Galoisgruppe der Körpererweiterung.
  3. Bei einer endlichen normalen Körpererweiterung sind zwei Elemente genau dann konjugiert, wenn es einen -Automorphismus mit gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper , wobei die Restklasse von mit bezeichnet sei.


Lösung

Wir berechnen die neue Gleichung , dies ist

Der Vorfaktor ist

Daher ist

Aus der ersten Gleichung folgt

also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).


Lösung

Wir machen Division mit Rest von durch . Das ergibt

Also ist

und daher ist das Inverse von gegeben durch


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ein Hauptidealbereich ist.


Lösung

Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Betrachte die nichtleere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Die Inklusion ist klar. Zum Beweis von sei gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) gilt

Wegen und der Minimalität von kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .


Aufgabe (9 (1+1+2+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Körpererweiterung

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung .

b) Beschreibe eine möglichst einfache -Basis von .

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die -Automorphismen von .

e) Bestimme das Minimalpolynom von .


Lösung

a) Die Körpererweiterung kann man als

schreiben. Da irrational ist, hat die erste Körpererweiterung den Grad und wegen ist , so dass auch die hintere Körpererweiterung den Grad besitzt. Nach der Gradformel liegt insgesamt der Grad vor.

b) Eine -Basis ist

Wegen ist dies offensichtlich ein Erzeugendensystem, und da es sich um Elemente handelt und der Grad ist, muss es eine Basis sein.

c) Mit der Basis aus Teil (b) können wir

schreiben. Sei . Die Festlegungen , , und liefern eine durch indizierte Summenzerlegung von . Die Eigenschaft folgt unmittelbar aus Eigenschaften der gewählten Basiselemente.

d) Da eine graduierte Körpererweiterung vorliegt, liefern die Charaktere die vier Automorphismen ,

und

Mehr Automorphismen kann es aufgrund von Satz 14.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) nicht geben.

e) Wir berechnen

und

Daraus folgt einerseits, dass ein erzeugendes Element der Körpererweiterung sein muss und dass das Minimalpolynom den Grad hat. Andererseits sieht man aus diesen Rechnungen direkt

und somit ist

das Minimalpolynom von .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Lösung

Wegen , und in besitzt das Polynom keine Nullstelle in . Daher ist dieses Polynom irreduzibel und

ist eine Darstellung des Körpers mit Elementen. Eine Basis über wird durch und gegeben, wobei die Restklasse von bezeichne. Unter dem Frobeniushomomorphismus ist

Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich . Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ein Quadrat in ist.


Lösung

Wir betrachten die Abbildung

der Einheitengruppe in sich. Diese schickt auf und wegen handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus. Der Kern dieser Abbildung besteht aus den mit , also aus den Nullstellen des Polynoms . Dessen Nullstellen sind gerade und , weitere Nullstellen kann es nicht geben, da die Anzahl der Nullstellen durch den Grad des Polynoms beschränkt ist. Bei wäre , was aufgrund der Charakteristik ausgeschlossen ist. Also besteht der Kern genau aus zwei Elementen. Nach dem Isomorphiesatz ist das Bild isomorph zum Urbild modulo Kern. Das Bild ist genau die Menge der Quadrate in der Einheitengruppe, und diese ist isomorph zu . Jede Nebenklasse besitzt daher zwei Elemente und die Anzahl der Nebenklassen ist daher . Die Hälfte der Einheiten sind also Quadrate.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass eine Körpererweiterung ist, die keine Galoiserweiterung ist.


Lösung

Nach dem Lemma von Eisenstein (angewendet mit der Primzahl ) ist das Polynom irreduzibel über , und daher ist
eine Körpererweiterung vom Grad . Wir zeigen, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist, woraus nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) folgt, dass sie keine Galoiserweiterung ist. Nehmen wir an, dass normal ist. Das Polynom besitzt in die Restklasse von als Nullstelle. Wegen der Normalität muss das Polynom über vollständig in Linearfaktoren zerfallen, d.h. die anderen Nullstellen (aus ) des Polynoms müssen ebenfalls zu gehören. Die anderen Nullstellen sind mit einer dritten Einheitswurzel . Aus folgt aber sofort, dass ist, d.h. enthält die dritten Einheitswurzeln. Die dritten Einheitswurzeln erzeugen eine Körpererweiterung vom Grad über . Daher widerspricht die Inklusion der Gradformel.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Lösung

Es ist

Wir führen zuerst die Polynomdivision durch durch, dies ergibt den Quotienten . Eine weitere Polynomdivision ergibt

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper ?


Lösung

Jeder Unterkörper von enthält , daher ist jeder Unterkörper ein Zwischenkörper der Körpererweiterung . Dies ist eine Galoiserweiterung nach Satz 20.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) und die Galoisgruppe ist isomorph zu . Über die Galoiskorrespondenz stehen die Unterkörper in Bijektion zu den Untergruppen von . Die Untergruppen entsprechen eindeutig den Teilern von , daher gibt es Untergruppen und Unterkörper des dreizehnten Kreisteilungskörpers.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei eine auflösbare Gruppe und eine Untergruppe. Zeige, dass auch auflösbar ist.


Lösung

Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung

aus, d.h., dass die Normalteiler in und die Restklassengruppen kommutativ sind. Die Untergruppe besitzt durch eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm

vor. Wir betrachten den Homomorphismus

Der Kern von ist offenbar . Daher ist nach Lemma 5.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Normalteiler in , und der Quotient ist nach Satz 5.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Untergruppe von und damit kommutativ. Also bilden die eine auflösende Filtrierung von .


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.


Lösung

Das Problem der Quadratur des Kreises bedeutet die Fragestellung, ob man aus einem durch den Radius gegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren kann. Den Radius kann man dabei zu normieren und durch zwei Punkte und repräsentieren. Da der Kreisinhalt ist, muss die Seitenlänge des zu konstruierenden Quadrates sein. Damit ist die Frage äquivalent dazu, ob man aus zwei Punkten mit Abstand mittels Zirkel und Lineal den Abstand konstruieren kann.

Der entscheidende Schritt ist, die Menge aller aus und konstruierbaren Punkte in der Ebene mathematisch zu erfassen. Dabei ergibt sich, dass bei jedem elementaren Schritt (wie dem Durchschnitt von einem Kreis und einer Geraden) der neue Punkt in einer quadratischen Körpererweiterung der schon konstruierten Punkte liegt. Daraus ergibt sich induktiv, dass jeder konstruierbare Punkt eine algebraische Zahl ist. Der Satz von Lindemann besagt allerdings, dass und damit auch keine algebraische Zahl ist, und damit auch nicht konstruierbar.