Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 14/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere Lemma 14.2 für den Fall einer quadratischen Körpererweiterung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ der Zerfällungskörper von ${}X^{n}-1$, also der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$ und es sei ${}G$ die Galoisgruppe der Erweiterung. Zeige, dass bei ${}n$ ungerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus ${}G\rightarrow S_{n-1}$ und bei ${}n$ gerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus ${}G\rightarrow S_{n-2}$ vorliegt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Bestimme die Zerlegung von ${}X^{4}-7$ in ${}{\mathbb {C} }$.
2. Bestimme den Zerfällungskörper ${}L$ von ${}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]$.
3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.
4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von ${}X^{4}-7$ von der Galoisgruppe herrühren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und sei ${}K\subseteq M$ eine weitere Körpererweiterung. Es sei ${}E$ die Menge der ${}K$- Algebrahomomorphismen von ${}L$ nach ${}M$. Zeige, dass die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(E),\,\varphi \longmapsto (\iota \mapsto \iota \circ \varphi ),$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}G$ eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen von ${}M$ nach ${}M$. Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jedes ${}\varphi \in G$ die Menge ${}T$ in sich selbst überführt. Zeige, dass die Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(T),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{T},$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Man gebe Beispiel für solche Situationen, wo ${}\psi$ (nicht) injektiv, (nicht) surjektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass jede Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Selbstabbildung der ${}(n-1)$-dimensionalen Sphäre

${}S^{n-1}={\left\{P\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}\,$

induziert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Wirkungsweise der eigentlichen Würfelgruppe auf der Menge der Ecken, der Kantenmenge, der Menge der Seitenmittelpunkte, der Raumdiagonalen durch geeignete Gruppenhomorphismen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Menge ${}\mu _{4}({\mathbb {C} })$ der vierten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$. Welche sind untereinander über ${}\mathbb {Q}$ konjugiert?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}f,g\in L$ konjugierte Elemente. Zeige, dass dann ${}N(f)=N(g)$ und ${}S(f)=S(g)$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die ${}n$ Vektoren (im ${}{\mathbb {C} }^{n}$)

$(1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{n-1}),\zeta \in \mu _{n}({\mathbb {C} }),$

linear unabhängig sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Begründe mit dem Lemma von Dedekind, dass die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}$

den Rang ${}4$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$. Berechne die Determinante der ${}(n\times n)$- Matrix

$((\zeta ^{r+s})_{0\leq r,s\leq n-1})$

für ${}n=1,2,3,4$.

Aufgabe Aufgabe 14.13 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{2}\subseteq {\mathbb {F} }_{4}$ eine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{2}(X)\subseteq {\mathbb {F} }_{2}(X)[T]/(T^{2}-X)$ keine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}\mu _{n}(L)$ (zu $n\in \mathbb {N} _{+}$) die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}L$. Zeige, dass es zu jedem ${}n$ einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(\mu _{n}(L))$

gibt.

Bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ kann man jeden ${}K$-Algebraautomorphismus von ${}L$ - also jedes Element der Galoisgruppe - als eine bijektive ${}K$- lineare Abbildung

$L\cong K^{n}\longrightarrow L\cong K^{n}$

auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der Determinante zur Verfügung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Zeige, dass die Abbildung

$G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \det \varphi ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe ${}D^{\vee }$ in einen Körper ${}K$. Zeige, dass die Abbildung

$D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

$L[X]\longrightarrow L[X],\,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\longmapsto \sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i},$

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ${}L[X]$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und sei ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Beweise für ${}\chi \in D^{\vee }$ die Gleichheit

${}\prod _{d\in D}\chi (d)=\det \varphi _{\chi }\,,$

wobei ${}\varphi _{\chi }$ den zugehörigen ${}K$-Automorphismus von ${}L$ bezeichnet (siehe Lemma 12.15).

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Menge ${}\mu _{8}({\mathbb {C} })$ der achten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$. Welche sind untereinander über ${}\mathbb {Q}$ konjugiert?

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$ mit der zugehörigen Charaktergruppe ${}D^{\vee }$ mit Werten in einem Körper ${}K$.

a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\psi \colon D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),$

nur die Werte ${}1$ und ${}-1$ annehmen kann.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel enthält. Zeige, dass ${}\psi$ genau dann den Wert ${}-1$ annimmt, wenn ${}n$ gerade ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl, die in ${}\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel besitzt, so dass ${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}3$ ist. Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}-q$ in ${}L$ genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht galoissch ist.