Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 5

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In dieser Vorlesung diskutieren wir Normalteiler, das sind Untergruppen, für die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Für Normalteiler kann man Restklassengruppen konstruieren.



Innere Automorphismen

Definition  

Sei eine Gruppe und fixiert. Die durch definierte Abbildung

heißt innerer Automorphismus.

Eine solche Abbildung nennt man auch Konjugation (mit ). Wenn eine kommutative Gruppe ist, so ist wegen die Identität der einzige innere Automorphismus. Der Begriff ist also nur bei nicht kommutativen Gruppen von Interesse. Ein wichtiges Beispiel für eine Konjugation tritt auf, wenn lineare Abbildungen durch Matrizen bezüglich verschiedener Basen beschrieben werden sollen, siehe Lemma 11.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)). Man spricht auch von ähnlichen Matrizen (wobei der Ähnlichkeitsbegriff auch für nicht invertierbare Matrizen definiert ist).



Lemma  

Ein innerer Automorphismus ist in der Tat

ein Automorphismus.

Die Zuordnung

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Es ist

so dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen

ist einerseits

so dass bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung ein Gruppenhomomorphismus.




Normalteiler

Definition  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Man nennt einen Normalteiler, wenn

für alle ist, wenn also die Linksnebenklasse zu mit der Rechtsnebenklasse zu übereinstimmt.

Bei einem Normalteiler braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen zu unterscheiden und spricht einfach von Nebenklassen. Statt oder schreiben wir meistens . Die Gleichheit bedeutet nicht, dass für alle ist, sondern lediglich, dass es zu jedem ein mit . gibt.



Lemma  

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Normalteiler
  2. Es ist für alle und .
  3. ist invariant unter jedem inneren Automorphismus von .

Beweis  

(1) bedeutet bei gegebenem , dass man mit einem schreiben kann. Durch Multiplikation mit von rechts ergibt sich , also . Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation . Ferner ist eine explizite Umformulierung von .



Beispiel  

Wir betrachten die Permutationsgruppe zu einer dreielementigen Menge, d.h. besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge in sich. Die triviale Gruppe und die ganze Gruppe sind Normalteiler. Die Teilmenge , wobei die Elemente und vertauscht und unverändert lässt, ist eine Untergruppe. Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei die Bijektion, die fest lässt und und vertauscht. Dieses ist zu sich selbst invers. Die Konjugation ist dann die Abbildung, die auf , auf und auf schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu .




Lemma  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern ein Normalteiler in .

Beweis  

Wir verwenden Lemma 5.4. Sei also beliebig und . Dann ist

also gehört ebenfalls zum Kern.



Restklassenbildung

Wir zeigen nun umgekehrt, dass jeder Normalteiler sich als Kern eines geeigneten, surjektiven Gruppenhomomorphismus realisieren lässt.

Die Multiplikation der Nebenklassen zu einem Normalteiler .




Satz  

Sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Es sei die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beweis  

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für und zu zeigen, dass ist. Nach Voraussetzung können wir und mit schreiben. Damit ist

Somit ist . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.



Definition  

Sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

mit der aufgrund von Satz 5.7 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .


Beispiel  

Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Satz 44.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) von der Form  (diese Aussage ist analog zu der in Vorlesung 3 bewiesenen Aussage, dass ein Hauptidealbereich ist) mit . Die Restklassengruppen werden mit

bezeichnet (sprich „ modulo “). Bei ist das einfach selbst, bei ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe definierte Äquivalenzrelation auf dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen und genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz zu gehört, also ein Vielfaches von ist. Daher ist (bei ) jede ganze Zahl zu genau einer der Zahlen

äquivalent (oder, wie man auch sagt, kongruent modulo ), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt Elemente. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung

ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt.[1] Als Bild der zyklischen Gruppe[2] ist auch zyklisch, und zwar ist (aber auch ) stets ein Erzeuger.




Die Homomorphiesätze für Gruppen



Satz  

Seien und Gruppen, es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

derart, dass ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

ist kommutativ.

Beweis  

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also zwei Urbilder von . Dann ist

und somit ist . Daher ist . Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien und seien Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist

D.h. ist ein Gruppenhomomorphismus.


Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.



Korollar  

Seien und Gruppen und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

Beweis  

Wir wenden Satz 5.10 auf und die kanonische Projektion an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

mit , der surjektiv ist. Sei und . Dann ist

also . Damit ist , d.h. der Kern von ist trivial und nach Lemma 4.9 ist auch injektiv.




Satz  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

wobei die kanonische Projektion, ein Gruppenisomorphismus und die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis  

Dies folgt aus Korollar 5.11, angewandt auf die Bildgruppe .


Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild Urbild modulo Kern.



Satz  

Sei eine Gruppe und ein Normalteiler mit der Restklassengruppe . Es sei ein weiterer Normalteiler in , der umfasst.

Dann ist das Bild von in ein Normalteiler und es gilt die kanonische Isomorphie

Beweis  

Für die erste Aussage siehe Aufgabe 5.25. Damit ist die Restklassengruppe wohldefiniert. Wir betrachten die Komposition

Wegen

ist . Daher ergibt Korollar 5.11 die kanonische Isomorphie


Kurz gesagt ist also



Fußnoten
  1. Dies gilt auch für das Produkt von zwei Zahlen, was bedeutet, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.
  2. Eine [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.


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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)