Lösung
- Eine Abbildung
von
nach
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge
genau ein Element der Menge
zugeordnet wird.
- Die Abbildung
-
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
auch
und
verschieden sind.
- Die
-
Matrix
-

nennt man die Einheitsmatrix.
- Die Teilmenge
heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
und
ist auch
.
- Die Vektoren
heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
-
nur bei
für alle
möglich ist.
- Eine Familie
,
,
von Vektoren in
heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über das inverse Element
in einer Gruppe
.
- Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
- Der
Basisaustauschsatz.
Lösung
- Zu jedem
ist das Element
mit
-

eindeutig bestimmt.
- Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
-
über einem Körper
ist ein Untervektorraum
des
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
- Es sei
ein Körper und
ein
-Vektorraum mit einer Basis
-
Ferner sei
-
eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in
. Dann gibt es eine Teilmenge
derart, dass die Familie
-
eine Basis von
ist.
Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Lösung
Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.
Lösung
Es sei
der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
-
und mit BC50 hat man die Kosten
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
also
-
Also ist für
keine Bahncard die günstigste Option, für
ist die BC25 die günstigste Option und für
ist die BC50 die günstigste Option.
Lösung
Lösung
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
-
a) Bestimme das Bild von
unter
.
b) Bestimme das Urbild von
unter
.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
-

Lösung
a) Das Bild von
ist
.
b) Das Urbild von
ist
.
c)
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Zu
sei
-
![{\displaystyle {}[n]=\{0,1,2,\ldots ,n\}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a832b5b0d45fa6896df016e4b4a047b6e45bd59)
Zu jedem
und jedem
seien die Abbildungen
-
durch
-

und die Abbildungen
-
durch
-

definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für
-
b) Erstelle eine Wertetabelle für
-
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
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als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten
und
.
Lösung
a)
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b)
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c) Wir behaupten
-

Die Komposition hat für die Elemente
jeweils den folgenden Effekt:
-
-
-
-
-
-
Das Gesamtergebnis stimmt also mit
überein.
Es sei
eine Gruppe. Zeige, dass
-

für alle
ist.
Lösung
Zeige, dass die drei reellen Matrizen
-
bezüglich der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bilden.
Lösung
Zur Abkürzung sei
-

Es ist

und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist

Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind
und
invers zueinander.
Berechne über den
komplexen Zahlen
das
Matrizenprodukt
-
Lösung
Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält

Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt
-

Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor
-
Lösung
Es sei
der Preis für ein Schneeglöckchen und
der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
-

und
-

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
-

und damit
-

Daraus ergibt sich
-

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
-

Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und
hinzunehmen. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und
ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit
ergibt sich
-

und
-

Rückwärts gelesen ergibt sich
-

-

und
-

Löse die lineare Gleichung
-

über
und berechne den Betrag der Lösung.
Lösung
Es ist

Der Betrag ist
-

Drücke in
den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Lösung
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable
aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist
(
)
-
Wir eliminieren nun aus
mittels
die Variable
, das ergibt
(
)
-
Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist
-
-

und
-

Also ist
-

Im
seien die beiden
Untervektorräume
-

und
-

gegeben. Bestimme eine Basis für
.
Lösung
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt
besitzt eine Darstellung
-
Die Koeffiziententupel
bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
-
und die dritte Gleichung durch
-
Wir wählen
, sodass
sein muss. Dies legt eindeutig
und dann auch
fest. Daher ist der Durchschnitt
eindimensional und
-

ist ein Basisvektor von
.
Lösung
Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir
, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also
kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere
als
Linearkombination
der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
-

Dann ist aber
-
eine nichttriviale Darstellung der
, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.
Es sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung
-

wobei mindestens ein Koeffizient
ist. Wir behaupten, dass dann auch die um
reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei
ein beliebiger Vektor, den man als
-

schreiben kann. Wir können
schreiben als
-

Damit ist

woraus ablesbar ist, dass man
auch als Linearkombination der
darstellen kann.
Lösung
Der Produktraum besitzt die Dimension
. Um dies zu beweisen sei
eine
Basis von
und
eine Basis von
. Wir behaupten, dass die Elemente
-
eine Basis von
bilden.
Es sei
.
Dann gibt es Darstellungen
-
Daher ist

d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
-

angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt
-

und das bedeutet
-
Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt
für alle
und
für alle
.
Lösung
Es sei
eine Basis von
und
eine Basis von
. Wir betrachten die Familie der Vektoren
-
Wegen
kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen
-dimensionalen Untervektorraum von
geben würde. Also gibt es Koeffizienten
, die nicht alle
sind, mit
-

Dieser Vektor gehört zu
. Er ist nicht
, da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten
sein müssten.