Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Teiltest/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 3 2 2 3 6 1 5 2 2 4 2 3 4 8 5 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die Einheitsmatrix .
  4. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Eine Basis eines -Vektorraums .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  3. Die -Matrix

    nennt man die Einheitsmatrix.

  4. Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit und ist auch .
  5. Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.

  6. Eine Familie , , von Vektoren in heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe .
  2. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
  3. Der Basisaustauschsatz.


Lösung

  1. Zu jedem ist das Element mit
    eindeutig bestimmt.
  2. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

    über einem Körper ist ein Untervektorraum des

    (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
  3. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einer Basis

    Ferner sei

    eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in . Dann gibt es eine Teilmenge derart, dass die Familie

    eine Basis von ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Lösung

Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

und mit BC50 hat man die Kosten

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

also

Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Sei . Dann ist und . Letzteres bedeutet oder . Im ersten Fall ist , im zweiten Fall , in beiden Fällen also .

Wenn umgekehrt gilt, so bedeutet dies oder . Im ersten Fall ist und , im zweiten Fall und . Also ist und und somit ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Lösung

Seien gegeben mit . Wir müssen zeigen, dass ist. Es ist

Da nach Voraussetzung injektiv ist, folgt , wie gewünscht.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Lösung

a) Das Bild von ist .

b) Das Urbild von ist .

c)


Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

Zu sei

Zu jedem und jedem seien die Abbildungen

durch

und die Abbildungen

durch

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

b) Erstelle eine Wertetabelle für

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .


Lösung

a)

b)

c) Wir behaupten

Die Komposition hat für die Elemente jeweils den folgenden Effekt:

Das Gesamtergebnis stimmt also mit überein.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Lösung

Es ist

Damit ist das Inverse zu . Damit ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die drei reellen Matrizen

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.


Lösung

Zur Abkürzung sei

Es ist

und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist

Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind und invers zueinander.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Lösung

Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält

Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt

Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor


Aufgabe (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Lösung

Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt

und

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man

und damit

Daraus ergibt sich

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Lösung

Es ist

Der Betrag ist


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist ()

Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt ()

Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist

und

Also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Lösung

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt besitzt eine Darstellung

Die Koeffiziententupel bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch

und die dritte Gleichung durch

Wir wählen , so dass sein muss. Dies legt eindeutig und dann auch fest. Daher ist der Durchschnitt eindimensional und

ist ein Basisvektor von .


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein Vektorraum und

eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).


Lösung

Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

Dann ist aber

eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.

Sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung

wobei mindestens ein Koeffizient ist. Wir behaupten, dass dann auch die um reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei ein beliebiger Vektor, den man als

schreiben kann. Wir können schreiben als

Damit ist

woraus ablesbar ist, dass man auch als Linearkombination der darstellen kann.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Lösung

Der Produktraum besitzt die Dimension . Um dies zu beweisen sei eine Basis von und eine Basis von . Wir behaupten, dass die Elemente

eine Basis von bilden.

Sei . Dann gibt es Darstellungen

Daher ist

d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt

und das bedeutet

Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt für alle und für alle .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.


Lösung

Es sei eine Basis von und eine Basis von . Wir betrachten die Familie der Vektoren

Wegen kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen -dimensionalen Untervektorraum von geben würde. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle sind, mit

Dieser Vektor gehört zu . Er ist nicht , da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten sein müssten.