Lösung
- Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
- Die Abbildung
-
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.
- Die
-
Matrix
-
nennt man die Einheitsmatrix.
- Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- .
- Mit
ist auch .
- Mit und ist auch .
- Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
-
nur bei für alle möglich ist.
- Eine Familie
, ,
von Vektoren in heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über das inverse Element
in einer Gruppe .
- Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
- Der
Basisaustauschsatz.
Lösung
- Zu jedem ist das Element mit
-
eindeutig bestimmt.
- Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
-
über einem Körper ist ein Untervektorraum
des
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
- Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einer Basis
-
Ferner sei
-
eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in . Dann gibt es eine Teilmenge derart, dass die Familie
-
eine Basis von ist.
Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Lösung
Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.
Lösung
Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
-
und mit BC50 hat man die Kosten
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
also
-
Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.
Lösung
Lösung
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
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a) Bestimme das Bild von unter .
b) Bestimme das Urbild von unter .
c) Erstelle eine Wertetabelle für
-
Lösung
a) Das Bild von ist .
b) Das Urbild von ist .
c)
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Zu sei
-
Zu jedem und jedem seien die Abbildungen
-
durch
-
und die Abbildungen
-
durch
-
definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für
-
b) Erstelle eine Wertetabelle für
-
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
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als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .
Lösung
a)
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b)
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c) Wir behaupten
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Die Komposition hat für die Elemente jeweils den folgenden Effekt:
-
-
-
-
-
-
Das Gesamtergebnis stimmt also mit überein.
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass
-
für alle
ist.
Lösung
Zeige, dass die drei reellen Matrizen
-
bezüglich der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bilden.
Lösung
Zur Abkürzung sei
-
Es ist
und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist
Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind
und
invers zueinander.
Berechne über den
komplexen Zahlen
das
Matrizenprodukt
-
Lösung
Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält
Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt
-
Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor
-
Lösung
Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
-
und
-
Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
-
und damit
-
Daraus ergibt sich
-
und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
-
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable , indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit ergibt sich
-
und
-
Rückwärts gelesen ergibt sich
-
-
und
-
Löse die lineare Gleichung
-
über und berechne den Betrag der Lösung.
Lösung
Es ist
Der Betrag ist
-
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Lösung
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist
()
-
Wir eliminieren nun aus mittels
die Variable , das ergibt
()
-
Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist
-
-
und
-
Also ist
-
Im seien die beiden
Untervektorräume
-
und
-
gegeben. Bestimme eine Basis für .
Lösung
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt besitzt eine Darstellung
-
Die Koeffiziententupel bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
-
und die dritte Gleichung durch
-
Wir wählen , sodass sein muss. Dies legt eindeutig und dann auch fest. Daher ist der Durchschnitt eindimensional und
-
ist ein Basisvektor von .
Lösung
Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als
Linearkombination
der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
-
Dann ist aber
-
eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.
Es sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung
-
wobei mindestens ein Koeffizient ist. Wir behaupten, dass dann auch die um reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei ein beliebiger Vektor, den man als
-
schreiben kann. Wir können schreiben als
-
Damit ist
woraus ablesbar ist, dass man auch als Linearkombination der darstellen kann.
Lösung
Der Produktraum besitzt die Dimension . Um dies zu beweisen sei eine
Basis von und eine Basis von . Wir behaupten, dass die Elemente
-
eine Basis von bilden.
Es sei
.
Dann gibt es Darstellungen
-
Daher ist
d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
-
angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt
-
und das bedeutet
-
Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt
für alle und
für alle .
Lösung
Es sei eine Basis von und eine Basis von . Wir betrachten die Familie der Vektoren
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Wegen kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen -dimensionalen Untervektorraum von geben würde. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle sind, mit
-
Dieser Vektor gehört zu . Er ist nicht , da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten sein müssten.