Kurs:Lineare Algebra/Teil I/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	4	2	6	5	2	5	4	8	2	3	3	3	9	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein inverses Element zu einem Element ${}x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   mit einem neutralen Element ${}e\in M$.

2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper ${}K$.
3. Die transponierte Matrix zu einer ${}m\times n$-Matrix ${}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$.
4. Der ${}i$-te Standardvektor im ${}K^{n}$.
5. Das Bidual zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Der Fixraum zu einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper ${}K$.
2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
3. Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},v_{2},v_{3},\ldots$ eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus ${}V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von ${}V$ sind?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$- Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und es seien

$K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\,$

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

${}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},v_{2},v_{3}$ eine Basis eines dreidimensionalen ${}K$- Vektorraumes ${}V$.

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=v_{1},v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$.

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}100$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum und seien ${}U,W\subseteq V$ zwei verschiedene ${}99$-dimensionale Untervektorräume von ${}V$. Welche Dimension hat ${}U+W$ und welche Dimension hat ${}U\cap W$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}r$. Zeige, dass es eine ${}r\times n$-Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$-Matrix ${}B$, beide mit dem Rang ${}r$, mit ${}M=B\circ A$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left({W}^{*},{V}^{*}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*},$

die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und ${}T=3X^{2}+2X+1$ durch.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu ${}\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich ${}X,X-1$ und ${}X(X-1)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine reell-symmetrische ${}2\times 2$- Matrix. Zeige, dass ${}M$ einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ gibt.

Aufgabe * (9 (2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme

$M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

für ${}n=1,2,3,4$.

b) Sei

${}{\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}}:=M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,.$

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu ${}M$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ der Ausdruck

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\7\\6\end{pmatrix}}+{\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}9\\0\\9\end{pmatrix}}+{\frac {1}{6}}{\begin{pmatrix}5\\5\\2\end{pmatrix}}$

eine baryzentrische Kombination ist.