Kurs:Lineare Algebra/Teil I/14/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 4 2 6 5 2 5 4 8 2 3 3 3 9 1 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

    mit einem neutralen Element .

  2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  3. Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .
  4. Der -te Standardvektor im .
  5. Das Bidual zu einem -Vektorraum .
  6. Der Fixraum zu einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper .
  2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  3. Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus . Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von sind?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

ist.


Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Basis eines dreidimensionalen -Vektorraumes .

a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum und seien zwei verschiedene -dimensionale Untervektorräume von . Welche Dimension hat und welche Dimension hat ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang . Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung

die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.


Aufgabe * (2 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu drei Möglichkeiten gibt, nämlich und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine reell-symmetrische -Matrix. Zeige, dass einen Eigenwert besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu gibt.


Aufgabe * (9 (2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

a) Bestimme

für .

b) Sei

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob im der Ausdruck

eine baryzentrische Kombination ist.