Kurs:Lineare Algebra/Teil I/14/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	4	2	6	5	2	5	4	8	2	3	3	3	9	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{1},v_{2},v_{3},\ldots$ eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus ${}V$ . Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von ${}V$ sind?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$ - Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$ -Matrix und es seien

K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}M={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\,

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

{}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}\,

ist.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},v_{2},v_{3}$ eine Basis eines dreidimensionalen ${}K$ - Vektorraumes ${}V$ .

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=v_{1},v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$ .

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}100$ - dimensionaler ${}K$ - Vektorraum und seien ${}U,W\subseteq V$ zwei verschiedene ${}99$ -dimensionale Untervektorräume von ${}V$ . Welche Dimension hat ${}U+W$ und welche Dimension hat ${}U\cap W$ ?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}r$ . Zeige, dass es eine ${}r\times n$ -Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$ -Matrix ${}B$ , beide mit dem Rang ${}r$ , mit ${}M=B\circ A$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$ - Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung

\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left({W}^{*},{V}^{*}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*},

die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „ ${}P$ durch ${}T$ “ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und ${}T=3X^{2}+2X+1$ durch.