Kurs:Lineare Algebra/Teil II/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 2 4 0 1 2 0 4 0 6 0 0 0 0 27




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Standardskalarprodukt auf dem .
  2. Eine eigentliche Isometrie

    auf einem euklidischen Vektorraum .

  3. Ein Minkowski-Raum.
  4. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Eine beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum .
  6. Die aus einer -linearen Abbildung

    durch einen Körperwechsel gewonnene -lineare Abbildung.


Lösung

  1. Das Standardskalarprodukt auf dem ist durch

    gegeben.

  2. Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.
  3. Ein reeller Vektorraum der Dimension mit einer Bilinearform vom Typ heißt Minkowski-Raum.
  4. Ein Untergruppe ist ein Normalteiler, wenn

    für alle ist.

  5. Die Teilmenge heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl mit

    gibt.

  6. Die Abbildung

    heißt die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Kosinussatz.
  2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
  3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.


Lösung

  1. In einem Dreieck mit den Seitenlängen und dem Winkel an gilt
  2. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

    ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von aus Eigenvektoren

    zu .
  3. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist stabil.
    2. Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
    5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      mit oder gleich mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Lösung

Es ist

Division durch ergibt die Behauptung.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gruppe der räumlichen Drehungen nicht kommutativ ist.


Lösung

Die beiden Matrizen und sind orthogonal und besitzen Determinante , sie beschreiben Raumdrehungen. Wegen

und

ist die Gruppe der Raumdrehungen nicht kommutativ.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.


Lösung

Es sei das rechtwinklige Dreieck mit dem rechten Winkel an und es sei der Höhenfußpunkt von auf der durch und gegebenen Geraden. Wegen der Rechtwinkligkeit liegt dieser zwischen und , d.h. es ist

Nach dem Satz des Pythagoras (angewendet auf das rechtwinklige Dreieck mit rechtem Winkel an ) und nach dem Kathetensatz ist

und dies ist die Aussage des Höhensatzes.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass für eine hermitesche Form auf einem -Vektorraum die Werte zu stets reell sind.


Lösung

Für eine hermitesche Form gilt

Somit ist speziell

und damit ist reell.


Aufgabe (2 Punkte)

Eine komplexe Zahl definiert einen Endomorphismus . Skizziere in der Ebene diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.


Lösung Komplexe Zahl/Streckung/Isometrie/Selbstadjungiert/Normal/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Lösung

Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist

und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Achsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?

  1. Die Isotropiegruppe zur -Achse und zur -Achse.
  2. Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen und zur Raumdiagonalen .
  3. Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse und zur Kantenmittelpunktsachse .


Lösung Eigentliche Symmetriegruppe/Würfel/Isotropiegruppe/Innere Automorphismen/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung