Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	3	1	2	5	2	6	6	3	4	4	2	2	54

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie und ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ebenfalls ${}\varphi$-invariant ist.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei Höhenfußpunkte außerhalb der Dreiecksseiten liegen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer von ${}2$ verschiedenen Charakteristik und sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle \right)}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${}z\in \mathbb {R}$, ${}z\neq 0$, die Vektoren

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}$

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Definiere auf ${}M$ eine Relation durch

$f\sim g{\text{ falls }}f(0)=g(0),\,f'(0)=g'(0){\text{ und }}f^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1).$

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}p$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ die Standardbasis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ (${}n\geq 1$) und sei

${}T=\{\pm e_{1},\ldots ,\pm e_{n}\}\,.$

Zeige, dass die Gruppe der eigentlichen Symmetrien von ${}T$ gerade ${}2^{n-1}(n!)$ Elemente besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit ${}1,2,3,4,5,6$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${}{\frac {1}{3}}$. Erstelle die zugehörige stochastische Matrix und berechne die Eigenverteilung(en).

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}K$- Untervektorraum eines endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraumes ${}V$. Wie kann man die Dimension des Restklassenraumes ${}V/U$ ausdrücken?
2. Kann man mit der Formel aus (1) die Dimension des Dachproduktes ${}\bigwedge ^{n}V=F/U$ ausrechnen, wobei ${}U\subseteq F$ die in der Konstruktion des Dachproduktes verwendeten Vektorräume sind?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}-7\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}.$