- Die Pausenaufgabe
Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen
linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
- Übungsaufgaben
Finde für die Vektoren
-
im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
Finde für die Vektoren
-
im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
Entscheide, ob die folgenden Vektoren
linear unabhängig
sind.
- , , ,
im -Vektorraum
.
- , im -Vektorraum
.
- , im -Vektorraum
.
- , im -Vektorraum
.
Zeige, dass die drei Vektoren
-
im
linear unabhängig sind.
Bestimme eine Basis des Untervektorraums .
Bestimme eine
Basis
für den
Lösungsraum
der linearen Gleichung
-
Bestimme eine
Basis für den
Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
Zeige, dass im die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Es sei ein
Körper. Man finde ein
lineares Gleichungssystem
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
-
ist.
Im seien die beiden Untervektorräume
-
und
-
gegeben. Bestimme eine Basis für .
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
, , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn die Familie
linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie
, , linear unabhängig.
- Die leere Familie ist linear unabhängig.
- Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
- Zwei Vektoren
und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.
Es sei ein
Untervektorraum.
Zeige, dass eine
Basis
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und sei
, , eine Familie von Vektoren in . Es sei
, , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie
, , genau dann
linear unabhängig
(ein
Erzeugendensystem von , eine
Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.
Es sei ein
-
Vektorraum,
eine
Basis
von und
-
die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von
Bemerkung 7.12.
Zeige, dass diese Abbildung die komponentenweise Addition im in die Vektoraddition in überführt, dass also
-
gilt.
Es sei eine
Basis
des und
-
die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von
Bemerkung 7.12.
Zeige, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im verträglich ist.
Es sei ein
-
Vektorraum
und sei
, ,
eine
Basis
von . Es sei
, ,
eine weitere Vektorenfamilie aus . Für jedes gelte
-
Zeige, dass auch
, ,
eine Basis von ist.
Formuliere und beweise
Satz 7.11
für eine beliebige
(nicht notwendigerweise endliche)
Vektorenfamilie
, .
Es sei ein angeordneter Körper und sei
-
der
Vektorraum
aller
Folgen
in
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
a) Zeige
(ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also
-
ein
-Untervektorraum
von ist.
b) Sind die beiden Folgen
-
linear unabhängig
in ?
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme, ob im die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Tipp: Verwende
Aufgabe 7.19