Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Aufgabe 12.1 ändern

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Übungsaufgaben

Aufgabe * Aufgabe 12.2 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.

Aufgabe Aufgabe 12.3 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung haben.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

${}A_{ij}(a)=E_{n}+aB_{ij}\,$

als Matrizenprodukt ${}M\circ N\circ L$ schreiben kann, wobei ${}M$ und ${}L$ Diagonalmatrizen sind und ${}N$ eine Scherungsmatrix der Form ${}A_{ij}(1)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}2&7\\-4&9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}1&2&3\\6&-1&-2\\0&3&7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\\5-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

${}M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

${\begin{pmatrix}3&2&6\\4&1&5\\6&-1&3\end{pmatrix}}.$

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.

Aufgabe Aufgabe 12.12 ändern

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$- Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Abschätzung

${}\operatorname {rang} \,A\circ B\leq {\min {\left(\operatorname {rang} \,A,\operatorname {rang} \,B,\right)}}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}A$ eine invertierbare ${}m\times m$-Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung

${}\operatorname {rang} \,A\circ M=\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

$M={\begin{pmatrix}2&3&2\\5&0&4\\1&-2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&k+2&k+1\\0&0&k+1&k\\-k&k+1&0&0\\k+1&-(k+2)&0&0\end{pmatrix}}$

für jedes ${}k\in K$ zu sich selbst invers ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

unter der Voraussetzung ${}ad-bc\neq 0$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 12.18 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.