Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 23/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben wird.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 23.4 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
gegebenen linearen Abbildung
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die lineare Abbildung
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
Berechne:
- die Eigenwerte von ;
- die zugehörigen Eigenräume;
- die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
- eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
- Die lineare Abbildung ist ein Isomorphismus.
- ist kein Eigenwert von .
- Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ist .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für - Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix
Zeige, dass das charakteristische Polynom nicht das Nullpolynom ist, dass aber
für alle ist.
Aufgabe Aufgabe 23.13 ändern
Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre transponierte Matrix das gleiche charakteristische Polynom besitzen.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und sei ein Eigenwert zu . Zeige, dass auch ein Eigenwert der dualen Abbildung
ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
„Zu zwei quadratischen - Matrizen gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung
Nach Definition ist nämlich
wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix, mit dem charakteristischen Polynom
Bestimme das charakteristische Polynom der mit gestreckten Matrix .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die reelle Matrix
a) Bestimme
für .
b) Sei
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch
definierte Teilmenge von ein - invarianter Unterraum ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass
mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
Berechne:
- die Eigenwerte von ;
- die zugehörigen Eigenräume;
- die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
- eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für jedes die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
- Fußnoten
- ↑ Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss.
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