Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 23/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 3\\ 7& 4& 2\\ 3& 7& 5\end{array}\right).$

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3,$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -4& 2\\ 0& 2& 3\\ 0& 6& 1\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}5& 7\\ 3& 4\end{array}\right)$

über $ℂ$.

Aufgabe Aufgabe 23.4 ändern

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zeige, dass für jedes  $\lambda \in K$  die Beziehung

${\chi }_M(\lambda )=det(\lambda E_n-M)$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wie findet man die Determinante von $M$ im charakteristischen Polynom ${\chi }_M$ wieder?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ -3& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

über $ℂ$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 5\\ 0& -1& 0\\ 8& 0& 5\end{array}\right)$

gegebenen linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3,v⟼Mv.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\phi :{ℂ}^3⟶{ℂ}^3,$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2+\mathrm{i}\\ 0& \mathrm{i}& 1+\mathrm{i}\\ 0& 0& -1+2\mathrm{i}\end{array}\right)$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für $\phi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$A=\left(\begin{array}{ccc}-4& 6& 6\\ 0& 2& 0\\ -3& 3& 5\end{array}\right)\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ).$

Berechne:

1. die Eigenwerte von $A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix  $C\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ)$  derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und  $\phi \in {\mathrm{End}}_{}\left(V\right)$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Die lineare Abbildung $\phi$ ist ein Isomorphismus.
2. $0$ ist kein Eigenwert von $\phi$.
3. Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ${\chi }_{\phi }$ ist $\ne 0$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper,  $a\in K$  und  $m,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  $1\le m\le n$.  Man gebe Beispiele für $n\times n$-Matrizen $M$ derart, dass $a$ ein Eigenwert zu $M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit $n$ und der geometrischen Vielfachheit $m$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$

Zeige, dass das charakteristische Polynom ${\chi }_M$ nicht das Nullpolynom ist, dass aber

${\chi }_M(\lambda )=0$

für alle  $\lambda \in K$  ist.

Aufgabe Aufgabe 23.13 ändern

Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre transponierte Matrix das gleiche charakteristische Polynom besitzen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei  $a\in K$  ein Eigenwert zu $\phi$. Zeige, dass $a$ auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

${\phi }^{\ast }:V^{\ast }⟶V^{\ast }$

ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen $n\times n$-Matrizen $M,N$ gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

${\chi }_{M\circ N}={\chi }_M{\chi }_N.$

Nach Definition ist nämlich

${\chi }_{M\circ N}=det(X{E}_n-M\circ N)=det(X{E}_n-M)det(X{E}_n-N)={\chi }_M\cdot {\chi }_N,$

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

${\chi }_M=X^n+c_{n-1}{X}^{n-1}+c_{n-2}{X}^{n-2}+\cdots +c_2{X}^2+c_{1}X+c_0.$

Bestimme das charakteristische Polynom der mit  $s\in K$  gestreckten Matrix $sM$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die reelle Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$

a) Bestimme

$M^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

für  $n=1,2,3,4$. 

b) Es sei

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right):=M^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen $x_n$ und $y_n$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu $M$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

$U=\{v\in V\mid \text{ es gibt ein }n\in \mathbb{N}\text{ mit }{\phi }^n(v)=0\}$

definierte Teilmenge von $V$ ein $\phi$-invarianter Untervektorraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass

$R(U)=\{\phi \in {\mathrm{End}}_{}\left(V\right)\mid U\text{ ist ein }\phi -\text{invarianter Untervektorraum}\}$

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ${\mathrm{End}}_{}\left(V\right)$ ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-3& 8& 5\\ 4& 7& 1\\ 2& -4& 5\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 5& 4\end{array}\right)$

über $ℂ$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$A=\left(\begin{array}{ccc}-5& 0& 7\\ 6& 2& -6\\ -4& 0& 6\end{array}\right)\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ).$

Berechne:

1. die Eigenwerte von $A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix  $C\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ)$  derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für jedes  $\lambda \in \mathbb{Q}$  die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 1\\ -a_0& -a_1& \dots & -a_{n-2}& -a_{n-1}\end{array}\right)$

gleich

${\chi }_M=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ mindestens einen Eigenvektor besitzt.

Fußnoten