Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 11

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von nach auftreten?

Regular quadrilateral.svg
U+25B1.svg
Regular triangle.svg
Trapezoid2.png
Hexagon.svg
Blancuco.jpg
Zero-dimension.GIF
Segment graphe.jpg
Disk 1.svg
Geometri romb.png




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

  1. Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
  3. Für einen Unterraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
  4. Insbesondere ist ein Untervektorraum von .


Aufgabe *

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe *

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung , die durch die Matrix gegeben ist.

  1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

    gegebenen Geraden.

  2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

    gegebenen Geraden.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung

derart gibt, dass ist.


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung wie in Beispiel 10.11 gegeben, um räumliche Figuren in der Ebene darzustellen. Man stelle sich das Urbild zu einem Punkt vor. Wie sehen die zugehörigen Geradengleichungen aus? Welche Punkte besitzen den gleichen Bildpunkt wie der Eckpunkt des Einheitswürfels?


Aufgabe

Sei und

die zugehörige lineare Abbildung.

  1. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von und .
  2. Finde einen Untervektorraum derart, dass gilt.
  3. Gibt es auch einen Untervektorraum , , mit ?


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. .


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass für diese Abbildung weder Bilder von Untervektorräumen wieder Untervektorräume noch Urbilder von Untervektorräumen wieder Untervektorräume sind.



Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zu einem Vektor nennt man die Abbildung

die Verschiebung (oder die Translation) um den Vektor .


Eine Verschiebung ist im Allgemeinen keine lineare Abbildung, da nicht auf abgebildet wird. Man spricht von einer affin-linearen Abbildung, worauf wir später zurückkommen werden.

Aufgabe

Es sei eine „geometrische Figur“, beispielsweise ein Kreis oder ein Rechteck in der Ebene. Es sei

die Verschiebung um den Vektor und es sei die verschobene Figur. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das Bild aus dem Bild durch eine Verschiebung hervorgeht.


Aufgabe

Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung

aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

die nicht injektiv ist, deren Einschränkung

aber injektiv ist.


Aufgabe *

Es sei

die durch die Matrix (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basis und .


Aufgabe

Die Telefonanbieter und kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr durch das Kundentupel ausgedrückt wird (dabei steht für die Anzahl der Kunden von im Jahr u.s.w.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

  1. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu je zu bzw. zu .
  2. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .
  3. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel aus berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel in vier Jahren?


Aufgabe *

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

Es sei der durch die lineare Gleichung definierte Untervektorraum von , und sei die Einschränkung von auf . Zu gehören Vektoren der Form

Berechne und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

von sowie die beschreibenden Matrizen für bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ).


Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im bzw. . Die Standardbasen seien mit und bezeichnet. Die lineare Abbildung

sei durch die Matrix

bezüglich der Standardbasen gegeben. Bestimme die beschreibenden Matrizen von bezüglich der Basen

a) und ,

b) und ,

c) und .


Aufgabe

Beweise Satz 9.7 mit Hilfe von Satz 11.5.


Aufgabe

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige, dass genau dann eine Streckung ist, wenn die beschreibende Matrix unabhängig von den gewählten Basen ist.


Aufgabe

Zeige Korollar 8.10 mit Hilfe von Korollar 11.9 und Aufgabe 10.26.


Aufgabe

Beweise Lemma 9.5 mit Hilfe von Lemma 11.10 und Beispiel 10.13.


Die folgende Aufgabe verwendet den Isomorphiebegriff für Gruppen. Die Bearbeitung der Frage erfordert den Mächtigkeitsbegriff, das Ergebnis mag etwas verwirrend sein.

Aufgabe

Es seien und vom Nullraum verschiedene, endlichdimensionale reelle Vektorräume. Sind sie als kommutative Gruppen isomorph?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

4-petal motif.svg

Skizziere das Bild der dargestellten Kreise unter der durch die Matrix gegebenen linearen Abbildung vom in sich.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die durch die lineare Gleichung gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

derart, dass das Bild von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

und

Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für , für und für .[1]


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr wird daher durch ein -Tupel angegeben.

Von den Traglingen erreichen -tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen -tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen -tel das reife Alter und von den Reifen erreichen -tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und Halbstarke zeugen Nachkommen und Reife zeugen Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand aus dem Bestand berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand in fünf Jahren?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl und es sei

die dadurch definierte Multiplikation, die eine -lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis und aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen und mit den beiden reellen Matrizen und die Produktmatrix die beschreibende Matrix zu ist.




Fußnoten
  1. Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.


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