Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 11

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von $ℝ^{2}$ nach $ℝ^{2}$ auftreten?

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

Für einen Untervektorraum $S \subseteq V$ ist auch das Bild $φ (S)$ ein Untervektorraum von $W$ .
Insbesondere ist das Bild $bild φ = φ (V)$ der Abbildung ein Untervektorraum von $W$ .
Für einen Unterraum $T \subseteq W$ ist das Urbild $φ^{- 1} (T)$ ein Untervektorraum von $V$ .
Insbesondere ist $φ^{- 1} (0)$ ein Untervektorraum von $V$ .

Aufgabe *

Bestimme den Kern der durch die Matrix

M = (\begin{matrix} 2 & 3 & 0 & - 1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{matrix})

gegebenen linearen Abbildung

φ : ℝ^{4} ⟶ ℝ^{2} .

Aufgabe *

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

ℝ^{4} ⟶ ℝ^{3}, (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & - 2 & 7 & - 1 \\ 2 & - 1 & - 4 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) .

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung $φ : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ , die durch die Matrix $(\begin{matrix} 8 & 4 \\ 5 & 9 \end{matrix})$ gegeben ist.

Bestimme das Bild der durch die Gleichung
$5 x - 7 y = 0$

gegebenen Geraden.
Bestimme das Urbild der durch die Gleichung
$6 x - 11 y = 0$

gegebenen Geraden.

Es sei eine lineare Abbildung $φ : ℝ^{3} \to ℝ^{2}$ wie in Beispiel 10.11 gegeben, um räumliche Figuren in der Ebene darzustellen. Man stelle sich das Urbild zu einem Punkt $P \in ℝ^{2}$ vor. Wie sehen die zugehörigen Geradengleichungen aus? Welche Punkte $Q \in ℝ^{3}$ besitzen den gleichen Bildpunkt wie der Eckpunkt $(1, 1, 1)$ des Einheitswürfels?

Aufgabe

Es sei $A = (\begin{matrix} 3 & 1 & 5 \\ - 1 & 0 & 2 \end{matrix})$ und

f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{2}, x ⟼ A \cdot x

die zugehörige lineare Abbildung.

Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von $kern f$ und $bild f$ .
Finde einen Untervektorraum $V \subseteq ℝ^{3}$ derart, dass
$ℝ^{3} = V \oplus kern f$

gilt.
Gibt es auch einen Untervektorraum $U \subset ℝ^{2}$ , $U \neq 0$ , mit $ℝ^{2} = U \oplus bild f$ ?

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum und $f : V \to V$ ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

$kern f = kern (f \circ f)$ ,
$kern f \cap bild f = {0}$ ,
$V = kern f \oplus bild f$ ,
$bild f = bild (f \circ f)$ .

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ x^{2} - 1.

Zeige, dass für diese Abbildung weder Bilder von Untervektorräumen $U \subseteq ℝ$ wieder Untervektorräume noch Urbilder von Untervektorräumen wieder Untervektorräume sind.

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Zu einem Vektor $v \in V$ nennt man die Abbildung

V ⟶ V, x ⟼ x + v,

die Verschiebung (oder die Translation) um den Vektor $v$ .

Eine Verschiebung ist im Allgemeinen keine lineare Abbildung, da $0$ nicht auf $0$ abgebildet wird. Man spricht von einer affin-linearen Abbildung, worauf wir später zurückkommen werden.

Aufgabe

Es sei $F \subseteq ℝ^{n}$ eine „geometrische Figur“, beispielsweise ein Kreis oder ein Rechteck in der Ebene. Es sei

θ_{w} : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n}, x ⟼ x + w,

die Verschiebung um den Vektor $w$ und es sei $F^{'} = θ_{w} (F)$ die verschobene Figur. Es sei

φ : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{m}

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das Bild $φ (F^{'})$ aus dem Bild $φ (F)$ durch eine Verschiebung im $ℝ^{m}$ hervorgeht.

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung

f : ℝ ⟶ ℝ,

g : ℝ ⟶ ℝ^{2},

h : ℝ^{2} ⟶ ℝ

aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2},

die nicht injektiv ist, deren Einschränkung

ℚ^{2} ⟶ ℝ^{2}

aber injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei $φ : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ die durch die Matrix $M = (\begin{matrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu $φ$ bezüglich der Basis $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ .

Aufgabe

Die Telefonanbieter $A, B$ und $C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr $j$ durch das Kundentupel $K_{j} = (a_{j}, b_{j}, c_{j})$ ausgedrückt wird (dabei steht $a_{j}$ für die Anzahl der Kunden von $A$ im Jahr $j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

Die Kunden von $A$ bleiben zu $80 %$ bei $A$ und wechseln zu je $10 %$ zu $B$ bzw. zu $C$ .
Die Kunden von $B$ bleiben zu $70 %$ bei $B$ und wechseln zu $10 %$ zu $A$ und zu $20 %$ zu $C$ .
Die Kunden von $C$ bleiben zu $50 %$ bei $C$ und wechseln zu $20 %$ zu $A$ und zu $30 %$ zu $B$ .

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel $K_{j + 1}$ aus $K_{j}$ berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel $(12000, 10000, 8000)$ innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel $(10000, 0, 0)$ in vier Jahren?

Aufgabe *

Die Zeitungen $A, B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80 %$ bei $A$ , $10 %$ wechseln zu $B$ , $5 %$ wechseln zu $C$ und $5 %$ werden Nichtleser.
Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60 %$ bei $B$ , $10 %$ wechseln zu $A$ , $20 %$ wechseln zu $C$ und $10 %$ werden Nichtleser.
Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70 %$ bei $C$ , niemand wechselt zu $A$ , $10 %$ wechseln zu $B$ und $20 %$ werden Nichtleser.
Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10 %$ für ein Abonnement von $A, B$ oder $C$ , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

φ : K^{3} ⟶ K^{2}, (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) .

Es sei $U \subseteq K^{3}$ der durch die lineare Gleichung $2 x + 3 y + 4 z = 0$ definierte Untervektorraum von $K^{3}$ , und $ψ$ sei die Einschränkung von $φ$ auf $U$ . Zu $U$ gehören Vektoren der Form

u = (0, 1, a), v = (1, 0, b) und w = (1, c, 0) .

Berechne $a, b, c$ und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

𝔟_{1} = v, w, 𝔟_{2} = u, w und 𝔟_{3} = u, v

von $U$ sowie die beschreibenden Matrizen für $ψ$ bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf $K^{2}$ ).

Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

𝔲 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) und 𝔳 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

im $ℝ^{4}$ bzw. $ℝ^{3}$ . Die Standardbasen seien mit $𝔢_{4}$ und $𝔢_{3}$ bezeichnet. Die lineare Abbildung

f : ℝ^{4} ⟶ ℝ^{3}

sei durch die Matrix

A = (\begin{matrix} - 2 & 3 & 2 & 3 \\ - 3 & 5 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & - 2 & - 2 \end{matrix})

bezüglich der Standardbasen gegeben. Bestimme die beschreibenden Matrizen von $f$ bezüglich der Basen

a) $𝔢_{4}$ und $𝔳$ ,

b) $𝔲$ und $𝔢_{3}$ ,

c) $𝔲$ und $𝔳$ .

Aufgabe

Beweise Satz 9.7 mithilfe von Satz 11.5.

Aufgabe *

Es sei

φ : V ⟶ V

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ . Zeige, dass $φ$ genau dann eine Streckung ist, wenn die beschreibende Matrix unabhängig von den gewählten Basen ist.

Aufgabe

Zeige Korollar 8.11 mithilfe von Korollar 11.9 und Aufgabe 10.26.

Aufgabe

Beweise Lemma 9.5 mithilfe von Lemma 11.10 und Beispiel 10.13.

Die folgende Aufgabe verwendet den Isomorphiebegriff für Gruppen. Die Bearbeitung der Frage erfordert den Mächtigkeitsbegriff, das Ergebnis mag etwas verwirrend sein.

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ vom Nullraum verschiedene, endlichdimensionale reelle Vektorräume. Sind sie als kommutative Gruppen isomorph?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Skizziere das Bild der dargestellten Kreise unter der durch die Matrix $(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ gegebenen linearen Abbildung vom $ℝ^{2}$ in sich.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung

f : ℝ^{4} ⟶ ℝ^{4}, (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 & - 1 \\ 2 & 5 & 7 & - 1 \\ - 1 & 2 & 3 & - 2 \\ - 2 & 0 & 0 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) .

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $E \subseteq ℝ^{3}$ die durch die lineare Gleichung $5 x + 7 y - 4 z = 0$ gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{3}

derart, dass das Bild von $φ$ gleich $E$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum $G = ℝ^{4}$ der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

π : G ⟶ ℝ, (\begin{matrix} z \\ n \\ r \\ s \end{matrix}) ⟼ 8 z + 9 n + 5 r + s,

und

κ : G ⟶ ℝ, (\begin{matrix} z \\ n \\ r \\ s \end{matrix}) ⟼ 2 z + n + 4 r + 8 s .

Wir stellen uns $π$ als Preisfunktion und $κ$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für $kern π$ , für $kern κ$ und für $kern (π \times κ)$ .^[1]

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr $j$ wird daher durch ein $5$ -Tupel

B_{j} = (b_{1, j}, b_{2, j}, b_{3, j}, b_{4, j}, b_{5, j})

angegeben.

Von den Traglingen erreichen $7 / 8$ -tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen $9 / 10$ -tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen $5 / 6$ -tel das reife Alter und von den Reifen erreichen $2 / 3$ -tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und $10$ Halbstarke zeugen $5$ Nachkommen und $10$ Reife zeugen $8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand $B_{j + 1}$ aus dem Bestand $B_{j}$ berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand $(200, 150, 100, 100, 50)$ im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand $(0, 0, 100, 0, 0)$ in fünf Jahren?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $z \in ℂ$ eine komplexe Zahl und es sei

ℂ ⟶ ℂ, w ⟼ z w,

die dadurch definierte Multiplikation, die eine $ℂ$ -lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis $1$ und $i$ aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ mit den beiden reellen Matrizen $M_{1}$ und $M_{2}$ die Produktmatrix $M_{2} \circ M_{1}$ die beschreibende Matrix zu $z_{1} z_{2}$ ist.

Fußnoten

↑ Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.

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[1] Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.

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