Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 35/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Aufgabe 35.1 ändern
Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Streckung mit einem Streckungsfaktor . Zeige, dass winkeltreu ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und euklidische Vektorräume und sei
eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann winkeltreu ist, wenn für alle , , die Gleichung
gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und euklidische Vektorräume. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
- Die Identität
ist winkeltreu.
- Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen
und
ist wieder winkeltreu.
- Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung
ist auch die Umkehrabbildung winkeltreu.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge aller winkeltreuen Abbildungen
eine Untergruppe von ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung
winkeltreu ist. Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine Diagonalmatrix. Zeige, dass die zugehörige lineare Abbildung
genau dann winkeltreu ist, wenn konstant und von verschieden ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe zu jedem , , eine lineare Abbildung
vom Rang an, die orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine winkeltreue Abbildung ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und euklidische Vektorräume und
eine injektive lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass winkeltreu ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorräumen . Zeige, dass es eine Isometrie
und eine Streckung
mit
gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und sämtlichen Untervektorräumen zu .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch
gegebenen Ebene im .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den minimalen Abstand von zu einem Punkt der Ebene , die durch die Gleichung gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden
Die folgenden Aufgaben besprechen Abstände zwischen nichtlinearen Objekten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius und der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Bestimme den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius und die durch
gegebene Gerade. Bestimme den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Folge in einem metrischen Raum , wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei und ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus . Zeige, dass genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn
ist.
Die folgende Aufgabe benötigt Analysis 1 (Extremabestimmung durch Ableiten).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Für welche Punkte der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt minimal?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass es eine reelle Zahl derart gibt, dass allenfalls oder als Eigenwerte von auftreten.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und euklidische Vektorräume und sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Isometrie ist, wenn für beliebige Teilmengen die Gleichung
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien zwei disjunkte Kreise und in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten und den Radien und gegeben. Zeige, dass der Abstand zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen.
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