Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ein Obstverkäufer verkauft Äpfel, Birnen und Kirschen. Er kann sich nicht genau an seine Einkaufspreise erinnern, aber er weiß, dass er für ${}5$ Kilo Äpfel so viel gezahlt hat wie für ${}3$ Kilo Birnen und ein Kilo Kirschen zusammen. Ferner gilt natürlich die alte Obsthändlerregel ${}3$ Kilo Äpfel entsprechen einem Kilo Birnen und einem Kilo Kirschen zusammen. Wie sieht der Orthogonalraum für diese Preisbedingungen aus? Was kostet ein Kilo Äpfel, wenn er ein Kilo Kirschen für ${}5$ Euro verkauft?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme eine Basis zum Orthogonalraum zu ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5\\-4\\1\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ${}U={\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$. Zeige, dass der Orthogonalraum ${}U^{\perp }\subseteq {V}^{*}$ zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ und der Orthogonalraum ${}F^{\perp }\subseteq V$ zu einem Untervektorraum ${}F\subseteq {V}^{*}$ Untervektorräume sind.

Aufgabe

Es sei ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{r}\rangle$ ein Untervektorraum eines ${}K$- Vektorraumes ${}V$. Zeige

${}U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u_{i})=0{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,r\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum ${}{V}^{*}$ die Gleichheit

${}{\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }\cap U_{2}^{\perp }\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum ${}{V}^{*}$ die Gleichheit

${}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }\,.$

Aufgabe

Beweise Lemma 15.6  (4) mit Hilfe von Lemma 13.13  (1).

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

a) Zeige, dass es Linearformen ${}L_{1},\ldots ,L_{r}$ auf ${}V$ mit

${}U=\bigcap _{i=1}^{r}\operatorname {kern} L_{i}\,$

gibt.

b) Zeige, dass jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ der Kern einer linearen Abbildung auf ${}V$ (in einen ${}K^{r}$) ist.

c) Zeige, dass jeder Untervektorraum des ${}K^{n}$ der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.

Aufgabe

Beschreibe den Raum der symmetrischen ${}n\times n$- Matrizen mit Linearformen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Es sei ${}L$ eine ${}\ell \times m$- Matrix und ${}N$ eine ${}n\times p$-Matrix. Zeige, dass

${\left\{M\mid M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,L\circ M\circ N=0\right\}}$

ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ ist.

b) Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler und ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ und ${}T\subseteq W$ Untervektorräume. Beschreibe den Untervektorraum

${\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (U)\subseteq T\right\}}$

mit Hilfe von geeigneten Basen und Teil a).

Aufgabe

Es sei

${}U=\langle {\begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{2}\,$

und

${}T=\langle {\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{2}\,.$

a) Beschreibe den Untervektorraum ${}W$ der ${}2\times 2$- Matrizen, die den Untervektorraum ${}U$ in den Untervektorraum ${}T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe ${}W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von ${}W$.

Aufgabe *

Es sei

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\4\\8\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,$

und

${}T=\langle {\begin{pmatrix}7\\1\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,.$

a) Beschreibe den Untervektorraum ${}W$ der ${}3\times 3$- Matrizen, die den Untervektorraum ${}U$ in den Untervektorraum ${}T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe ${}W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von ${}W$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,.$

Zeige

${}{V}^{*}=V_{1}^{\perp }\oplus V_{2}^{\perp }\,$

und dass die Einschränkung der dualen Abbildung

${V}^{*}\longrightarrow {V_{1}}^{*}$

auf ${}V_{2}^{\perp }$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Stelle die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}6&5&2\\4&8&2\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2}$

im Sinne von Lemma 15.10 mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und es sei

$\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

die duale Abbildung. Zeige

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,\varphi ^{*}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein Isomorphismus zwischen den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und es sei ${}\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\rightarrow {V}^{*}$ die duale Abbildung. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}T:=\varphi (U)\subseteq W$ der entsprechende Untervektorraum in ${}W$. Zeige, dass sich in den Dualräumen die Orthogonalräume

${}U^{\perp }$ und ${}T^{\perp }$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und es sei

$\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

die duale Abbildung.

a) Zeige, dass für einen Untervektorraum ${}S\subseteq V$ die Beziehung

${}\varphi ^{*-1}(S^{\perp })=(\varphi (S))^{\perp }\,$

gilt.

b) Zeige, dass für einen Untervektorraum ${}T\subseteq W$ die Beziehung

${}\varphi ^{*}(T^{\perp })=(\varphi ^{-1}(T))^{\perp }\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

${}V=\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}\,$

die abzählbar direkte Summe von ${}\mathbb {R}$ mit sich selbst mit der Basis ${}e_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$. Es seien ${}p_{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, die Projektionen

$\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}e_{n}\longmapsto a_{k}.$

a) Zeige, dass

$\varphi \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}e_{n}\longmapsto \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n},$

eine Linearform auf ${}V$ ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist.

b) Zeige, dass die natürliche Abbildung von ${}V$ in sein Bidual ${}{{V}^{*}}^{*}$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left({W}^{*},{V}^{*}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*},$

die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$, es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{r}\in {V}^{*}$ Linearformen und sei

${}F=\langle f_{1},\ldots ,f_{r}\rangle \subseteq {V}^{*}\,.$

Zeige, dass diese Linearformen genau dann linear unabhängig sind, wenn

${}\dim _{K}{\left(F^{\perp }\right)}=n-r\,$

ist.

Aufgabe (7 (5+1+1) Punkte)

Es sei

${}U=\langle {\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,$

und

${}T=\langle {\begin{pmatrix}6\\3\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\5\\-8\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,.$

a) Beschreibe den Untervektorraum ${}W$ der ${}3\times 3$- Matrizen, die den Untervektorraum ${}U$ in den Untervektorraum ${}T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe ${}W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von ${}W$.

Aufgabe (3 Punkte)

Stelle die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}3&6&4&5\\5&2&1&3\\8&1&2&7\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{4}\longrightarrow K^{3}$

im Sinne von Lemma 15.10 mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$ und Bidual ${}{{V}^{*}}^{*}$. Es sei ${}F\subseteq {V}^{*}$ ein Untervektorraum. Zeige, dass die beiden Orthogonalräume ${}F^{\perp }\subseteq V$ (im Sinne von Definition 15.4) und ${}F^{\perp }\subseteq {{V}^{*}}^{*}$ (im Sinne von Definition 15.1) über die natürliche Identifizierung von Raum und Bidual gleich sind.