Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 21

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Überprüfe, ob der Vektor ${}{\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zur Matrix

{\begin{pmatrix}-2&-5&1\\0&-2&2\\4&-3&5\end{pmatrix}}

ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Was sind bei einer linearen Abbildung

\varphi \colon K\longrightarrow K

die Eigenwerte und die Eigenvektoren von ${}\varphi$ ?

Aufgabe

Es seien

\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V

Endomorphismen auf einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und es sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor von ${}\varphi$ und von ${}\psi$ . Zeige, dass ${}v$ auch ein Eigenvektor von ${}\varphi \circ \psi$ ist. Was ist der Eigenwert?

Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},

die durch eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass der erste Standardvektor ein Eigenvektor zu einer jeden oberen Dreiecksmatrix ist. Was ist der Eigenwert?

Aufgabe *

Es sei

{}M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass ein Eigenwert zu ${}M$ ein Diagonaleintrag von ${}M$ sein muss.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

derart, dass ${}\varphi$ keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz ${}\varphi ^{n}$ , ${}n\geq 2$ , Eigenwerte besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{2}({\mathbb {C} })$ mindestens einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

{}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ und sei

{}U=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\,

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich ${}\varphi$ zu einer linearen Abbildung

\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U,\,v\longmapsto \varphi (v),

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ${}\lambda$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Isomorphismus auf einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ mit der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ . Zeige, dass ${}a\in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist, wenn ${}a^{-1}$ ein Eigenwert von ${}\varphi ^{-1}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}P(\lambda )$ ein Eigenwert von ${}P(\varphi )$ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über dem Körper ${}K$ und

\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}

lineare Abbildungen. Es sei ${}a\in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi _{k}$ für ein bestimmtes ${}k$ . Zeige, dass ${}a$ auch ein Eigenwert zur Produktabbildung

\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}

ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert zu einer durch eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung

\varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2}

ist, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms

X^{2}-(a+d)X+ad-cb

ist.

Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung ${}f\mapsto f'$ eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}V$ ist.

b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.^[1]

c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.

Aufgabe *

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}\lambda \in K$ . Es sei

{\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}

die duale Abbildung zu ${}\varphi$ . Wir betrachten Basen von ${}V$ der Form ${}v,u_{1},\ldots ,u_{r}$ mit der Dualbasis ${}v^{*},u_{1}^{*},\ldots ,u_{r}^{*}$ . Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) ${}v^{*}$ ist Eigenvektor von ${}{\varphi }^{*}$ zum Eigenwert ${}\lambda$ unabhängig von ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$ .

b) ${}v^{*}$ ist Eigenvektor von ${}{\varphi }^{*}$ zum Eigenwert ${}\lambda$ bezüglich einer Basis ${}v,u_{1},\ldots ,u_{r}$ , aber nicht bezüglich einer Basis ${}v,w_{1},\ldots ,w_{r}$ .

c) ${}v^{*}$ ist bezüglich keiner Basis ${}v,u_{1},\ldots ,u_{r}$ ein Eigenvektor von ${}{\varphi }^{*}$ .

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ , ein fixierter Vektor. Zeige, dass

{}R(v)={\left\{\varphi \in \operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\mid v{\text{ ist Eigenvektor zu }}\varphi \right\}}\,

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}c\in K$ und ${}a={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}$ ein von ${}0$ verschiedener Vektor. Erstelle ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge genau diejenigen ${}n\times n$ - Matrizen sind, für die ${}a$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}c$ ist. Was ist das Besondere an diesem Gleichungssystem und welche Dimension hat die Lösungsmenge?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine reelle ${}n\times n$ - Matrix. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl, die ein Eigenwert von ${}M$ ist, wenn man diese als eine komplexe Matrix auffasst. Zeige, dass ${}a$ schon im Reellen ein Eigenwert von ${}M$ ist.

Man verallgemeinere die vorstehende Aufgabe für eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0,$ ein Eigenvektor von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

{}M={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.

Zeige, dass ${}M$ als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von ${}M$ als komplexer Matrix.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

{}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,.

Man charakterisiere in Abhängigkeit von ${}a,b,c,d$ , wann eine solche Matrix

zwei verschiedene Eigenwerte,
einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
keinen Eigenwert,

besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung mit

{}\varphi ^{n}=\operatorname {Id} _{V}\,

für ein gewisses ${}n\in \mathbb {N}$ .^[2] Zeige, dass jeder Eigenwert ${}\lambda$ von ${}\varphi$ die Eigenschaft ${}\lambda ^{n}=1$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \neq 0$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ und ${}v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis ${}v,u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ eine Basis ${}v,w_{2},\ldots ,w_{n}$ gibt mit ${}\langle v,u_{j}\rangle =\langle v,w_{j}\rangle$ und mit