Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 1

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Von welchen ebenen Figuren und räumlichen Gebilden kennen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen?


Aufgabe

Was ist das Volumen (der Inhalt, das Maß) eines einzelnen Punktes im , im , im u.s.w.?


Aufgabe

Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen endlichen Teilmengen von besteht. Zeige, dass ein Mengen-Präring ist.


Aufgabe *

Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen endlichen Teilmengen von und deren Komplementen besteht. Zeige, dass eine Mengenalgebra ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Mengenalgebra insbesondere ein Mengen-Präring ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und sei ein Mengensystem. Zeige, dass genau dann ein Mengen-Präring ist, wenn es die drei Bedingungen

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch

erfüllt.


Aufgabe

Es sei eine Menge und ein Mengensystem auf . Zeige, dass genau dann eine Mengenalgebra ist, wenn es ein Unterring des Potenzmengenringes ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und es bezeichne die symmetrische Differenz für Mengen . Zeige die folgenden Aussagen.


Aufgabe

Es sei eine Menge und es bezeichne die symmetrische Differenz für Mengen . Zeige, dass genau aus den Elementen besteht, die in einer ungeraden Anzahl der enthalten sind.


Aufgabe

Es sei eine - Algebra auf einer Menge . Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

  1. Es ist .
  2. Mit gehört auch zu .
  3. Für jede abzählbare Familie , , ist auch


Aufgabe

Es sei das Mengensystem auf , das aus allen Teilmengen besteht, die durch einen mathematischen Ausdruck beschreibbar sind. Zeige, dass eine Mengenalgebra, aber keine - Algebra ist.


Aufgabe

Es sei , , eine Folge von Teilmengen in einer Menge mit

für alle . Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Familie in diesem Fall.


Aufgabe

Es sei und sei

die -Umgebung von . Bestimme den Limes inferior und den Limes superior dieser (abzählbaren) Familie.


Aufgabe

Es seien

Bestimme den Limes inferior und den Limes superior von dieser Mengenfolge.


Aufgabe

Es sei eine Menge und sei , , eine beliebige Familie von - Algebren auf . Zeige, dass der Durchschnitt

ebenfalls eine -Algebra auf ist.


Aufgabe

Es sei ein Messraum und eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem

eine - Algebra auf ist (man spricht von der induzierten -Algebra).


Aufgabe

Es sei eine Menge und seien Mengensysteme. Dabei sei in der von erzeugten - Algebra enthalten. Zeige


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge mit einer geraden Anzahl. Es sei das Mengensystem, das aus allen Teilmengen von besteht, die eine gerade Anzahl besitzen. Zeige, dass ein Dynkin-System ist und dass im Allgemeinen nicht durchschnittsstabil ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und ein Mengensystem auf . Zeige, dass genau dann ein durchschnittsstabiles Dynkin-System ist, wenn eine - Algebra ist.


Aufgabe

Zeige, dass messbare Abbildungen zwischen Messräumen die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
  2. Jede konstante Abbildung ist messbar.
  3. Die Identität ist messbar.
  4. Es seien und zwei - Algebren auf einer Menge . Dann ist die Identität auf genau dann -messbar, wenn gilt.


Aufgabe

Es sei ein Messraum und es sei mit der ganzen Potenzmenge als - Algebra versehen. Es sei . Zeige, dass genau dann messbar ist, wenn die Indikatorfunktion

messbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen abzählbaren Teilmengen von und deren Komplementen besteht. Zeige, dass eine - Algebra ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge und sei ein Teiler von . Zeige, dass die Menge der Teilmengen von , deren Elementanzahl ein Vielfaches von ist, ein Dynkin-System bilden, das bei keine Mengen-Algebra ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung.

a) Es sei eine - Algebra auf . Zeige, dass das Mengensystem

eine -Algebra auf ist.

b) Es sei eine - Algebra auf . Zeige, dass das Mengensystem

eine -Algebra auf ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Messraum und es sei eine Zerlegung von in abzählbar viele messbare Teilmengen. Es sei

eine Abbildung in einen weiteren Messraum . Zeige, dass genau dann messbar ist, wenn sämtliche Einschränkungen

messbar sind.



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