Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit


Aufgabe *

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.


Wir verallgemeinern einige Konzepte von metrischen Räumen auf topologische Räume.


Es sei eine Folge in einem topologischen Raum . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung von gibt es ein derart, dass für alle die Folgenglieder zu gehören.

In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.


Aufgabe

Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zeige, dass die Folge in genau dann im Sinne der Metrik konvergiert, wenn sie im Sinne der Topologie konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass eine Folge in einem Hausdorffraum höchstens einen Grenzwert besitzt.


Es sei eine Folge in einem topologischen Raum . Ein Punkt heißt Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder offenen Umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen.


Aufgabe

Es sei eine Folge in einem topologischen Raum und sei . Es gebe eine gegen konvergente Teilfolge. Zeige, dass ein Häufungspunkt der Folge ist.


Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt dicht, wenn für jede nichtleere offene Menge die Beziehung gilt.


Es wurde bereits in Aufgabe 35.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gezeigt, dass dieses Konzept mit der Dichtheit in einem metrischen Raum übereinstimmt.

Aufgabe

Man beschreibe einen topologischen Raum, der aus zwei Punkten besteht, wobei der eine Punkt dicht und der andere Punkt nicht dicht sei.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung mit offenen Mengen eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.


Aufgabe

Es sei eine Folge in einem topologischen Raum , der eine abzählbare Basis besitze, und sei . Zeige, dass genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen konvergente Teilfolge gibt.


Aufgabe *

Es sei ein topologischer Raum und sei die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

mit offenen Mengen und abgeschlossenen Mengen besteht.


Aufgabe

Es sei

eine messbare Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen stetig ist, weder offen noch abgeschlossen sein muss.


Aufgabe

Es sei

eine messbare Funktion. Zeige, dass die Menge der Punkte, in denen stetig ist, eine messbare Teilmenge von ist.


Aufgabe

Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ein Mengen-Präring ist.


Aufgabe

Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen

einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.


Aufgabe *

Es sei ein Messraum und und seien Maße darauf.

a) Ist die durch

für definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

für definierte Abbildung ein Maß?


Aufgabe

Es sei ein Maßraum und . Zeige, dass durch

ein Maß auf definiert ist.[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit .


Aufgabe

Es sei ein Messraum, der als abzählbare disjunkte Vereinigung

mit gegeben ist. Es seien , , Maße auf . Zeige, dass es ein eindeutiges Maß auf derart gibt, dass die Einschränkungen von auf die mit übereinstimmen.


Aufgabe

Es sei ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf explosiv, wenn es lediglich die Werte und annimmt.

a) Zeige, dass (für ) durch

ein Maß definiert ist.

b) Es sei ein Maß auf . Zeige, dass durch

ebenfalls ein Maß definiert ist.


Aufgabe

Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.


Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?


Aufgabe

Der Messraum sei mit dem Maß versehen, bei der die Zahl den Wert erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen den Wert .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Messraum und sei

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass

messbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Hausdorff-Raum und es seien zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen mit , und mit gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen wachsenden Funktionen

mit , mit und überabzählbar ist.




Fußnoten
  1. Dieses Maß nennt man das mit umskalierte Maß.


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