Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 1/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Von welchen ebenen Figuren und räumlichen Gebilden kennen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Was ist das Volumen (der Inhalt, das Maß) eines einzelnen Punktes im , im , im u.s.w.?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen endlichen Teilmengen von besteht. Zeige, dass ein Mengen-Präring ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen endlichen Teilmengen von und deren Komplementen besteht. Zeige, dass eine Mengenalgebra ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine Mengenalgebra insbesondere ein Mengen-Präring ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz
als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und sei ein Mengensystem. Zeige, dass genau dann ein Mengen-Präring ist, wenn es die drei Bedingungen
- .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch
erfüllt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und ein Mengensystem auf . Zeige, dass genau dann eine Mengenalgebra ist, wenn es ein Unterring des Potenzmengenringes ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und es bezeichne die symmetrische Differenz für Mengen . Zeige die folgenden Aussagen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und es bezeichne die symmetrische Differenz für Mengen . Zeige, dass genau aus den Elementen besteht, die in einer ungeraden Anzahl der enthalten sind.
Aufgabe Aufgabe 1.11 ändern
Es sei eine - Algebra auf einer Menge . Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.
- Es ist .
- Mit gehört auch zu .
- Für jede abzählbare Familie , ,
ist auch
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei das Mengensystem auf , das aus allen Teilmengen besteht, die durch einen mathematischen Ausdruck beschreibbar sind. Zeige, dass eine Mengenalgebra, aber keine - Algebra ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei , , eine Folge von Teilmengen in einer Menge mit
für alle . Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Familie in diesem Fall.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei fixiert und sei
die -Umgebung von . Bestimme den Limes inferior und den Limes superior dieser (abzählbaren) Familie.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 1.16 ändern
Es sei eine Menge und sei , , eine beliebige Familie von - Algebren auf . Zeige, dass der Durchschnitt
ebenfalls eine -Algebra auf ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Messraum und eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem
eine - Algebra auf ist (man spricht von der induzierten -Algebra).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und seien Mengensysteme. Dabei sei in der von erzeugten - Algebra enthalten. Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Menge mit einer geraden Anzahl. Es sei das Mengensystem, das aus allen Teilmengen von besteht, die eine gerade Anzahl besitzen. Zeige, dass ein Dynkin-System ist und dass im Allgemeinen nicht durchschnittsstabil ist.
Aufgabe * Aufgabe 1.20 ändern
Es sei eine Menge und ein Mengensystem auf . Zeige, dass genau dann ein durchschnittsstabiles Dynkin-System ist, wenn eine - Algebra ist.
Aufgabe Aufgabe 1.21 ändern
Zeige, dass messbare Abbildungen zwischen Messräumen die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
- Jede konstante Abbildung ist messbar.
- Die Identität ist messbar.
- Es seien und zwei - Algebren auf einer Menge . Dann ist die Identität auf genau dann -messbar, wenn gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Messraum und es sei mit der ganzen Potenzmenge als - Algebra versehen. Es sei . Zeige, dass genau dann messbar ist, wenn die Indikatorfunktion
messbar ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen abzählbaren Teilmengen von und deren Komplementen besteht. Zeige, dass eine - Algebra ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine -elementige Menge und sei ein Teiler von . Zeige, dass die Menge der Teilmengen von , deren Elementanzahl ein Vielfaches von ist, ein Dynkin-System bilden, das bei keine Mengen-Algebra ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung.
a) Es sei eine - Algebra auf . Zeige, dass das Mengensystem
eine -Algebra auf ist.
b) Es sei eine - Algebra auf . Zeige, dass das Mengensystem
eine -Algebra auf ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Messraum und es sei eine Zerlegung von in abzählbar viele messbare Teilmengen. Es sei
eine Abbildung in einen weiteren Messraum . Zeige, dass genau dann messbar ist, wenn sämtliche Einschränkungen
messbar sind.