Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 40/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Kurve

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto f(t)={\left(t^{2}-\sin t,e^{-t}+2t^{3},t\cdot \sinh t+{\frac {1}{t^{2}+1}}\right)},

in jedem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Bilder und die Graphen der folgenden Kurven im ${}\mathbb {R} ^{2}$ .

${}t\longmapsto {\left(t^{2},t^{2}\right)}$ ,
${}t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}\right)}$ ,
${}t\longmapsto {\left(t^{2},t\right)}$ ,
${}t\longmapsto {\left(2t,3t\right)}$ ,
${}t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3}\right)}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}v,w\in V$ . Zeige, dass die Abbildung

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow V,\,t\longmapsto tv+w,

differenzierbar ist mit der Ableitung ${}f'(t)=v$ .

Aufgabe Aufgabe 40.4 ändern

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien

f,g\colon I\longrightarrow V

zwei in ${}t_{0}\in I$ differenzierbare Kurven und es sei

h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine in ${}t_{0}$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

Die Summe
$f+g\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t)+g(t),$

ist in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

${}(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.$
Das Produkt
$hf\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto h(t)f(t),$

ist differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

${}(hf)'(t_{0})=h(t_{0})f'(t_{0})+h'(t_{0})f(t_{0})\,.$

Insbesondere ist für ${}c\in \mathbb {R}$ auch ${}cf$ differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

${}(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.$
Wenn ${}h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
${\frac {f}{h}}\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto {\frac {f(t)}{h(t)}},$

in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

${}{\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.$

Die folgenden Aufgaben wiederholen wichige Eigenschaften von euklidischen Vektorräumen.

Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem euklidischen Vektorraum aus einer gegebenen Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume

{}\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle \,

übereinstimmen für alle ${}i=1,\ldots ,n$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$ . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

{}\Vert {v+w}\Vert ^{2}+\Vert {v-w}\Vert ^{2}=2\Vert {v}\Vert ^{2}+2\Vert {w}\Vert ^{2}\,

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1})$ und ${}(V_{2},\left\langle -,-\right\rangle _{2})$ zwei euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch

\left\langle (v_{1},v_{2}),(w_{1},w_{2})\right\rangle :=\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}+\left\langle v_{2},w_{2}\right\rangle _{2}

ein Skalarprodukt auf dem Produktraum ${}V_{1}\times V_{2}$ definiert wird.

Aufgabe Aufgabe 40.8 ändern

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$ . Es sei

f\colon T\longrightarrow V

eine Abbildung in einen euklidischen Vektorraum ${}V$ mit den Komponentenfunktionen

f_{1},\ldots ,f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

bezüglich einer Basis von ${}V$ . Zeige, dass der Limes

\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)

genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten

\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f_{j}(x)

existieren.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Das Bild der durch

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung ${}x^{3}=y^{2}$ erfüllt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},

die einem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$ den eindeutigen Schnittpunkt ${}\neq (0,-1)$ der durch die beiden Punkte ${}(t,1)$ und ${}(0,-1)$ gegebenen Geraden ${}G_{t}$ mit dem Einheitskreis

{}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass ${}f$ differenzierbar ist. Ist ${}f$ injektiv, ist ${}f$ surjektiv?