Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 53/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei eine Menge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).
- für alle .
- genau dann, wenn ist.
- Für
und
gilt
- Für
gilt
Es sei
die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu die offene und die abgeschlossene -Umgebung von einem .
Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven
wobei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.
Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld
Es sei
ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems
ganz in verläuft.
Die nächste Aufgabe knüpft an
Aufgabe 22.21
an.
Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung
die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?
In der speziellen Relativitätstheorie ist auf dem die Lorentz-Form
wichtig, wobei die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese Form ist eine nicht-ausgeartete Bilinearform vom Typ . Sie erlaubt es, die „Welt“ in lichtartige, zeitartige und raumartige Vektoren aufzuteilen, und den Zusammenhang dieser fundamentalen Größen zu verstehen. Die zugehörige quadratische Form ist die Abbildung
Mathematisch setzt man im Allgemeinen .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten das Vektorfeld
Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine kompakte Teilmenge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei der Raum der stetigen Abbildungen von nach , versehen mit der Supremumsnorm. Es seien und Punkte. Zeige, dass die Teilmenge
abgeschlossen in ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei abgeschlossen und beschränkt und sei ein vollständiger metrischer Raum. Es sei die Menge der stetigen Abbildungen von nach . Definiere eine Metrik auf derart, dass selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum unabhängig von der gewählten Basis ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
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