Es sei die Kugel mit Radius und Mittelpunkt im . Wie lautet die Formel
(ohne Begründung)
für
a) das Volumen der Vollkugel.
b) den Flächeninhalt der Kugeloberfläche.
a) Das Volumen der Vollkugel ist .
b) Der Flächeninhalt der Kugeloberfläche ist .
Zeige, dass die Menge
-
eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
Wir betrachten die differenzierbare Abbildung
-
Die Menge ist die Faser von über . Es ist
-
Diese Ableitung ist nur bei gleich , und dies ist kein Punkt von , so dass in jedem Punkt von regulär ist. Daher liegt nach dem Satz über implizite Abbildungen eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vor.
Als Faser einer stetigen Abbildung ist eine abgeschlossene Teilmenge von . Ferner ist beschränkt. Für ist nämlich , da andernfalls wäre. Dies impliziert die Kompaktheit.
Zeige, dass die Tangentialabbildung zu
-
surjektiv ist.
Die Abbildung ist surjektiv, es ist also lediglich zu zeigen, dass für jedes die lineare Tangentialabbildung
-
surjektiv ist. Da beide Räume eindimensional sind, muss gezeigt werden, dass ein von verschiedener Vektor nicht auf geht. Ein Tangentialvektor an wird realisiert durch den differenzierbaren Weg
-
Der verknüpfte Weg
-
realisiert den Bild-Tangentialvektor, und zwar ist
(in der umgebenden Ebene )
-
und das ist nicht der Nullvektor.
Bestimme, ob die beiden Basen des ,
-
die gleiche
Orientierung
repräsentieren oder nicht.
Die Vektoren
-
besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix
-
deren Determinante ist
-
Daher repräsentiert diese Basis die Standardorientierung.
Die Vektoren
-
besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix
-
deren Determinante ist
-
Daher repräsentiert diese Basis ebenfalls die Standardorientierung, und damit repräsentieren beide Basen die gleiche Orientierung.
Berechne die zurückgezogene Differentialform zu
-
unter der Abbildung
-
Es ist
-
-
-
und
-
Damit ist
Berechne das Wegintegral zu
-
für die -Differentialform
-
auf dem .
Es ist
Daher ist
Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen
-
um die -Achse rotieren lässt, kleiner als ist.
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)
Wir betrachten den Graph der Abbildung
-
als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des
, also
-
mit der vom induzierten riemannschen Metrik. Es sei
-
die zugehörige Diffeomorphie.
a) Bestimme das totale Differential zu sowie die Bildvektoren und in .
b) Bestimme für jeden Punkt der Form
den Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms.
c) Bestimme für jeden Punkt der Form
den Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms.
a) Das totale Differential zu im Punkt ist
-
und es ist
-
b) und c) Zur Bestimmung des Flächeninhalts berechnen wir zunächst die Skalarprodukte der beiden Vektoren
und .
Es ist
-
-
und
-
b) Für berechnet sich der Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms zu
-
c) Für berechnet sich der Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms zu
-
Es sei eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform . Zeige, dass
-
ist.
Zu jedem Punkt
gibt es eine offene Kartenumgebung
und eine Kartenabbildung
-
mit
offen und so, dass
ist mit stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung
,
die homöomorph zu einem offenen Ball
ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion darauf und somit auch auf beschränkt. Es folgt, dass endlich ist, wobei eine offene Umgebung von ist.
Diese offenen Mengen
überdecken . Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung
-
mit
-
Wegen der Positivität gilt somit
-
Es seien
und
offene Teilmengen
und sei
-
eine
stetig differenzierbare
Abbildung.
Es sei
-
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der
Kettenregel,
dass
-
gilt, wobei das
Zurückziehen von Differentialformen
bezeichnet.
Es ist
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