Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/15/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 5 2 3 3 3 10 3 5 7 4 3 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Ein angeordneter Körper.
  3. Die reelle Exponentialfunktion.
  4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
  5. Eine stetig differenzierbare Funktion .
  6. Ein Vektorraum über einem Körper .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Ein Körper heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von eine Beziehung („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt ( bedeutet oder ).
    1. Für je zwei Elemente gilt entweder oder oder .
    2. Aus und folgt (für beliebige ).
    3. Aus folgt (für beliebige ).
    4. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Die Funktion

    heißt (reelle) Exponentialfunktion.

  4. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .

  5. Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.
  6. Unter einem Vektorraum über versteht man eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen

    und

    derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig):

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. Zu jedem gibt es ein mit ,
    5. ,
    6. ,
    7. ,
    8. .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  2. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  3. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.


Lösung

  1. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
  2. Sei und sei

    eine stetige, auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit

  3. Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von . Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

  1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
  2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
  3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
  4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
  5. Doro ist ein Wurm.
  6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
  7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

  1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
  2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
  3. Fängt der späte Igel den Wurm?


Lösung

  1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
  2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
  3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien zwei rationale Zahlen gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl die rationale Zahl

echt zwischen und liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen zueinander?


Lösung

Die Ungleichung

folgt gemäß der Überkreuzungsregel unter Verwendung der Voraussetzung aus

die Ungleichung

folgt ebenso aus

Wir behaupten, dass für

die Beziehung

gilt. Dazu berechnen wir

und

Die Differenz des ersten Term zum zweiten Term ist

was die Behauptung bestätigt.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.


Lösung

Der binomische Lehrsatz besagt

Wir setzen . Dann ergibt sich auf der linken Seite

und auf der rechten Seite einfach .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine reelle Nullfolge und eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


Lösung

Sei eine Schranke für und sei vorgegeben. Da eine Nullfolge ist, gibt es zu ein derart, dass für die Abschätzung gilt. Für diese Indizes ist dann auch


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

gegebenen Geraden.


Lösung

Der Einheitskreis ist durch

gegeben. Darin setzen wir

ein und erhalten

Also ist

und damit

Somit ist

Die Schnittpunkte sind also und .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (10 (1+4+5) Punkte)

Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion

auf .

  1. Erstelle eine Wertetabelle für für die Stellen .
  2. Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das mit an den Stellen übereinstimmt.
  3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu und die Intervalle, für die oberhalb bzw. unterhalb von verläuft.


Lösung

  1. Wie wenden Fakt ***** an. Für das gesuchte Polynom soll , und gelten. Da drei Interpolationspunkte vorgegeben sind, gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad , das durch diese drei Punkte verläuft. Wir machen den Ansatz

    wobei wegen der ersten Bedingung sofort folgt. Die beiden anderen Bedingungen führen auf

    und

    Daraus ergibt sich

    und somit

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  2. Wir vergleichen nun und . Für ist

    wir vergleichen daher nur noch die Werte auf , wo beide Funktionen nichtnegativ sind. In diesem Bereich können wir die Quadrate der beiden Funktionen vergleichen, also und

    Es geht also darum, wo die Differenzfunktion

    auf Nullstellen besitzt und wo sie positiv oder negativ ist. Bei liegt eine Nullstelle vor, wir klammern daher aus, was das Vorzeichenverhalten nicht ändert, und erhalten als anderen Faktor

    bzw.

    Nach Konstruktion von wissen wir, dass bei und bei weitere Nullstellen vorliegen, dies führt zur Faktorisierung

    Somit stimmen und genau an den Stellen überein und auf gilt

    auf gilt

    und auf gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Lösung

Wir betrachten

Diese Funktion ist nach Fakt ***** wieder stetig und es ist

und

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein mit

also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.


Lösung

Es seien Funktionen, die beide in differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion ist und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für gegen existiert und gleich ist. Es ist

Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich bzw. . Wegen der Stetigkeit von im Punkt ist der Limes von für gegen gleich . Daher folgt die Behauptung aus den Rechenregeln für Limiten.


Aufgabe (7 (1+1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von .

b) Skizziere für zwischen und .

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von .

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung von im Punkt .


Lösung

a) Es ist

genau dann, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Der Definitionsbereich ist also .

b)

c) Nach der Quotientenregel ist

Weiterhin ist

und

d) Wegen und ist

und

daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Lösung

Wegen

für alle ist das Nulltupel eine Lösung. Es seien und Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ist dann für jedes

Entsprechend ist

für alle . Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

über dem Körper der rationalen Funktionen .


Lösung

Die Determinante der Matrix ist

die inverse Matrix ist daher


Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

und die Eigenwerte von sind .

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

bestimmen. Da gehört dazu.

:

Dies führt auf

Wir wählen und und erhalten , also ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

:

Dies führt auf

Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu

und daher ist

Daher ist

Somit ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt